kernan

Du måste vara mer försiktig när du Gausseleminerar. Den där eleminationen fungerar inte då a = 1.

Där du konstaterar att det inte finns några så gör du ett misstag, det finns lösningar. Så du ska alltså finna lösningarna till ekvationssystemet Av = 0.

Den enda sats jag kan tänka mig att du tänker på är dimensionssatsen och den säger att om vi har en nxm matris A så gäller det att

$rank\left(A\right) + dim\left(ker\right(A\left)\right) =\hspace{0.17em}m$

Så i detta fall vet vi ju att rank(A) < 4 så dim(ker(A)) måste åtminstone vara 1, därför vet vi a priori att nollrummet kommer vara större än {0} oavsett värdet på a.

Stokastisk skrev :

Du måste vara mer försiktig när du Gausseleminerar. Den där eleminationen fungerar inte då a = 1.

Där du konstaterar att det inte finns några så gör du ett misstag, det finns lösningar. Så du ska alltså finna lösningarna till ekvationssystemet Av = 0.

Den enda sats jag kan tänka mig att du tänker på är dimensionssatsen och den säger att om vi har en nxm matris A så gäller det att

$rank\left(A\right) + dim\left(ker\right(A\left)\right) =\hspace{0.17em}m$

Så i detta fall vet vi ju att rank(A) < 4 så dim(ker(A)) måste åtminstone vara 1, därför vet vi a priori att nollrummet kommer vara större än {0} oavsett värdet på a.

men om jag låter a vara okänd, då får jag ju den matrisen ovan, då får jag ekvationsystmet :
x1+x3=0
ax2=0

x1=-x3
a eller x2 = 0

om x1=t, får jag: 

t(1,0(eller?),-1)

är det då min kärna?

Nollrummet kommer vara ett delrum till $\mathbb{R}^4$.

Ser att jag kollade helt fel på matrisen också, jag såg inte ettorna längst till vänster, trodde det var nollor.

Så eftersom vi har ekvationen

$x_1 + x_3 = 0$

$ax_2 = 0$

Så kan vi välja $x_2$ som vad som helst då $a = 0$, och $x_4$ kan vi alltid välja hur vi vill. Så nollrummet blir

Då $a \neq 0$

$span\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\right\}$

och då $a = 0$ så får man

$span\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\right\}$