Klassificiera kritiska punkten uppgift 10

Man kan linjärisera högerledet i det givna ODE-systemet (d.v.s. ta fram Taylors utveckling av första ordningen i de intressanta punkterna) och studera egenvärdena av respektive linjäriseringens koefficientmatris:

• Är båda egenvärdena negativa (eller komplexa med negativ realdel), så är systemet asymptotiskt stabilt.
• Är minst ett av egenvärdena positivt (eller komplext med positiv realdel), så är systemet ostabilt.

Hur går linjärisering till?

Givet $\dot{x} = F(x,y)$ och $\dot{y} = G(x,y)$, där $F(x,y) = xy - x^2$ och $G(x,y) = 4x+4y-xy-y^2$ som i uppgift 10, så bildar man funktionalmatrisen (jacobimatrisen)

$\mathbf{J}\left(x,y\right) = \begin{pmatrix} F^\prime_x(x,y) & F^\prime_y(x,y) \\ G^\prime_x(x,y) & G^\prime_y(x,y)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y-2x & x \\ 4-y & 4-x-2y\end{pmatrix}$.

Kritisk punkt (0,0):

Sätt in x=0 och y=0 i funktionalmatrisen, vilket ger $\mathbf{J}\left(0,0\right) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 4\end{pmatrix}$. I närheten av denna kritiska punkt approximeras ODE-systemet av

$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$,

så matrisen $\mathbf{J}(0,0)$ avgör systemets beteende. Denna matris har egenvärdena 0 och 4, så systemet är ostabilt vid den kritiska punkten (0,0).

De övriga kritiska punkterna hanteras på liknande sätt.

Kritisk punkt (a,b):

Sätt in $x=a$ och $y=b$ i funktionalmatrisen, d.v.s. bestäm $\mathbf{J}\left(a,b\right)$. I närheten av punkten $(a, b)$ approximeras ODE-systemet av

$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} \approx \mathbf{J}\left(a,b\right) \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix}$,

så matrisen $\mathbf{J}(a,b)$ avgör systemets beteende.

LuMa07 skrev:

Man kan linjärisera högerledet i det givna ODE-systemet (d.v.s. ta fram Taylors utveckling av första ordningen i de intressanta punkterna) och studera egenvärdena av respektive linjäriseringens koefficientmatris:

• Är båda egenvärdena negativa (eller komplexa med negativ realdel), så är systemet asymptotiskt stabilt.
• Är minst ett av egenvärdena positivt (eller komplext med positiv realdel), så är systemet ostabilt.

Hur går linjärisering till?

Givet $\dot{x} = F(x,y)$ och $\dot{y} = G(x,y)$, där $F(x,y) = xy - x^2$ och $G(x,y) = 4x+4y-xy-y^2$ som i uppgift 10, så bildar man funktionalmatrisen (jacobimatrisen)

$\mathbf{J}\left(x,y\right) = \begin{pmatrix} F^\prime_x(x,y) & F^\prime_y(x,y) \\ G^\prime_x(x,y) & G^\prime_y(x,y)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y-2x & x \\ 4-y & 4-x-2y\end{pmatrix}$.

Kritisk punkt (0,0):

Sätt in x=0 och y=0 i funktionalmatrisen, vilket ger $\mathbf{J}\left(0,0\right) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 4\end{pmatrix}$. I närheten av denna kritiska punkt approximeras ODE-systemet av

$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$,

så matrisen $\mathbf{J}(0,0)$ avgör systemets beteende. Denna matris har egenvärdena 0 och 4, så systemet är ostabilt vid den kritiska punkten (0,0).

 

De övriga kritiska punkterna hanteras på liknande sätt.

Kritisk punkt (a,b):

Sätt in $x=a$ och $y=b$ i funktionalmatrisen, d.v.s. bestäm $\mathbf{J}\left(a,b\right)$. I närheten av punkten $(a, b)$ approximeras ODE-systemet av

$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} \approx \mathbf{J}\left(a,b\right) \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix}$,

så matrisen $\mathbf{J}(a,b)$ avgör systemets beteende.

Oj de här frågorna är kapitlet innan jacobimatris och linjarisering som är kapitlet efter. Jag antar att det är bäst att lösa med jacobimatrisen även om kapitlet inte behandlar det ännu. 

Det står i uppgiftens frågeställning att man skall använda digitala verktyg för att ta fram en figur med riktningsfältet som sedan skall avläsas/tolkas.

Vill man klara sig utan datorn, d.v.s. utan riktningsfältets figur, så får man använda metoder från nästa avsnitt.