Klurig integral

Täljare och nämnare är väldigt lika. Utnyttja det!

    $\frac{e^{2u}-1}{e^{2u}+1} = \frac{e^{2u}+1-2}{e^{2u}+1} = 1-2\cdot\frac{1}{e^{2u}+1}.$

Vad händer om du substituerar e^(2u) = t? 

Ja, det var ju det som var så störande, jag tänkte ju att det såg väldigt enkelt ut. 

För närvarande tänker jag om jag är efterbliven. Tack för hjälpen!

Laguna skrev:

Vad händer om du substituerar e^(2u) = t? 

 Jag... provade det... Men avbröt halvvägs för att jag trodde att det inte skulle ta mig någonstans.

Om du sätter $y=e^{2u}$ får du $dy/du = 2y$ vilket låter dig skriva integralen 

    $\displaystyle\int \frac{1}{1+e^{2u}}\,du = \int\frac{0.5}{y(1+y)}\,dy.$

Partialbråksuppdelning av integranden ger 

    $\frac{1}{y(1+y)} = \frac{1}{y}-\frac{1}{1+y}$

vilket ger integralen 

    $\displaystyle 0.5\int\frac{1}{y}\,dy-0.5\int\frac{1}{1+y}\,dy.$

Albiki skrev:

Om du sätter $y=e^{2u}$ får du $dy/du = 2y$ vilket låter dig skriva integralen 

    $\displaystyle\int \frac{1}{1+e^{2u}}\,du = \int\frac{0.5}{y(1+y)}\,dy.$

Partialbråksuppdelning av integranden ger 

    $\frac{1}{y(1+y)} = \frac{1}{y}-\frac{1}{1+y}$

vilket ger integralen 

    $\displaystyle 0.5\int\frac{1}{y}\,dy-0.5\int\frac{1}{1+y}\,dy.$

 Vad smart. jag insåg inte att $\frac{dy}{du}=2e^{2u}=2y$

Om man inte vill lösa $y$-integralen med partialbråksuppdelning kan man använda ett litet fultrick:

$\displaystyle\frac{1}{2}\int\frac{1}{y(y+1)}\ dy=\frac{1}{2}\int\frac{1}{y^2(1+y^{-1})}\ dy=\frac{1}{2}\int\frac{y^{-2}}{1+y^{-1}}\ dy=$

och om man därefter substituerar $t=1+y^{-1}$ får man $dt=-y^{-2}\ dy$:

$\displaystyle=-\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}\ dt=...$

Fy vilket fult trick! Men ack så smart!