Klurig integral

Detta är en standarduppgift för variabelbytet $\tan(x/2) = u$ som omvandlar integranden till ett rationellt uttryck i variabeln $u$. Detta byte brukar dock kräva en hel del arbete.

Man behöver ha lite trigonometriska formler i sin verktygslåda:

• $1 + \tan^2 v = \dfrac{1}{\cos^2 v}$ enligt trig:ettan. Detta medför att $\cos^2 v = \dfrac{1}{1 + \tan^2 v}$, vilket kommer att användas i omskrivningar med $v = x/2$.
  
  
• Dubbla vinkelns formel för sinus ger att
  $\sin x = 2 \sin\left(x/2\right) \cos\left(x/2\right) = 2 \tan\left(x/2\right) \cos^2\left(x/2\right) = \dfrac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} = \dfrac{2u}{1+u^2}$
  
  
• Dubbla vinkelns formel för cosinus ger att
  $\cos x = 2 \cos^2 x - 1 = \dfrac{2}{1+\tan^2(x/2)} - 1 = \dfrac{1 - \tan^2(x/2)}{1+\tan^2 (x/2)} = \dfrac{1-u^2}{1+u^2}$

Sambandet $\tan (x/2)=u$ där $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ är ekvivalent med $x = 2 \arctan(u)$ där $0 \le u \le 1$. Därmed blir $dx = \dfrac{2}{1+u^2}\,du$.

När allt detta sätts ihop så fås:

$\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos x}{2-\sin x}\,dx = \int_0^1 \frac{1+\frac{1-u^2}{1+u^2}}{2 - \frac{2u}{1+u^2}} \, \frac{2}{1+u^2}\,du$

Det första bråket förenklas genom att förlänga det med $1+u^2$, vilket ger

$\dfrac{1+\frac{1-u^2}{1+u^2}}{2 - \frac{2u}{1+u^2}} = \dfrac{2}{2 + 2u^2 -2u} = \dfrac{1}{u^2 - u + 1}$.

Integralen blir därmed

$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2}{(u^2 -u+ 1)(u^2 + 1)}\,du$

Därefter är det "bara" partialbråksuppdelning och inga mer konstigheter.

Ifall det känns ointuitivt att dubbla vinkelns formler används, så kan man resonera också lite annorlunda för att hitta omskrivningar av sin x och cos x.

Man utgår från att $\tan(x/2) = u$ är ekvivalent med $x = 2 \arctan u$ med lämpliga intervall för $x$ och $u$. Därmed blir

• $\sin x = \sin (2\arctan u)$, där man tydligt ser dubbla vinkeln, så $\sin(2 \arctan u) = 2 \sin(\arctan u) \cos(\arctan u)$
  
  
• $\cos x = \cos (2\arctan u)$, där man tydligt ser dubbla vinkeln, så $\cos(2 \arctan u) =  \cos^2(\arctan u) - \sin^2(\arctan u)$
  
  

Det återstår att hitta $\sin(\arctan u)$ och $\cos(\arctan u)$, vilket kan göras m.h.a. den rätvinkliga triangeln enligt följande figur:

så  $\sin\left(\arctan u\right) = \dfrac{u}{\sqrt{1+u^2}}$  och  $\cos\left(\arctan u\right) = \dfrac{1}{\sqrt{1+u^2}}$.