Klurig uppgift om differentialekvationer (hur många är smittade efter 60 dagar?)

Jag förstår inte facits ledtråd och svar....

Frågan är luddigt formulerad. Glöm början, det är inte allmänt sant att detta ger given ekvation. Det handlar om den logistiska modellen, det är det de försöker säga, och visar i facit.

-k spelar ingen roll. Tecknet visar sig ändå på slutet. Av någon anledning skriver de -k. Förmodligen för att de vill ha -k>0 och visa att takten y' är stigande.

y(0)=1/3 ges av texten

Alltså är 2/3 osmittade och är den andel som återstår att smitta för att "hela populationen vara smittad efter..."

Dessa 2/3 skall smittas under 60 dagar, givet y'(0) är konstant, d.vs. 2/3 = y'(0)*60 (Tänk här på vanligt s=vt, mängden/andelen (2/3) = y'(0) (hastigheten) * 60 (tiden).

Då har vi de 3 raderna i facit klara.

Vi kan nu använda de 3 raderna för att få k=-1/20.

Nu kan diff.ekv. lösas, eller slås upp i ett formelblad, och sedan är det bara att beräkna y(60)

Tack! Wow, svår uppgift. Hade själv aldrig kommit på det. Tycker det är konstigt att man skriver 2/3 istället för 3/3 och multiplicerar med 60. Tycker också det är konstigt att antal icke smittade skrivs som (1-y) istället för (N-y) om N är populationen. Är min metod fel? Har ibland använt den för liknande uppgifter ( se annan tråd om snitthastighet). Kan den endast användas om populationen är given från början? 

Anonym_15 skrev:

Tack! Wow, svår uppgift. Hade själv aldrig kommit på det. Tycker det är konstigt att man skriver 2/3 istället för 3/3 och multiplicerar med 60. Tycker också det är konstigt att antal icke smittade skrivs som (1-y) istället för (N-y) om N är populationen. Är min metod fel? Har ibland använt den för liknande uppgifter ( se annan tråd om snitthastighet). Kan den endast användas om populationen är given från början? 

1/3 är redan smittade, så 2/3 friska återstår att insjukna under de 60 dagarna.

Det är som att säga:

Det är 3 mil mellan stad A och stad B. Du har redan kört 1 mil från A emot B, och nu skall du köra resterande 2 mil på 60 minuter med en viss konstant hastighet.

y är en andel, de har dividerat med M på bägge sidor i den "vanliga" logistiska ekvationen.

Utgår från

N' = k N (M-N)

N' = k N M (1-N/M)

N'/M = k N (1-N/M)

N'/M = kM N/M (1-N/M)

N'/M = K N/M (1-N/M)

Sätt y=N/M, M är här en konstant, N varierar med tiden, då blir y'=N'/M, och vi får

y'=K y(1-y)

Notera hur vi går från k till K genom att "baka in" konstanten M i K

Ja, din metod är lite fel, du blandar antalet N och andelen y. N-y har ingen mening då, typ "äpplen-bananer".