Klurigt bevis...

Jag förstår verkligen inte facit: 

Hur kan a^n vara kongruent med (-b)^n (mod a+b). Det finns inte någon sådan formel vi har lärt oss?

Anonym_15 skrev:

Jag förstår verkligen inte facit: 

Hur kan a^n vara kongruent med (-b)^n (mod a+b). Det finns inte någon sådan formel vi har lärt oss?

På sidan står av bilden nämner facit att

$a = a+b-b$

Eftersom $a+b$ är kongruent med 0 mod $a+b$ har man att

$a \equiv -b \,\pmod{(a+b)}$



Jag tycker ett mer naturligt sätt att tänka på detta är att notera att

$a+b \equiv 0\, \pmod{(a+b)}$

och sedan addera $-b$ till båda led.

Betydligt enklare blev det nu, tack! Hur ska man sedan gå vidare?

Om du vet att $a \equiv -b \quad \mod (a+b)$, så följer det att $a^n \equiv (-b)^n \quad \mod (a+b)$.

Och om $n$ är udda, så blir $(-b)^n= - b^n$.

Därmed blir $a^n + b^n \equiv \underbrace{-b^n + b^n}_{=0} \quad \mod \left(a+b\right)$