8 svar
217 visningar
tomast80 är nöjd med hjälpen!
tomast80 3245
Postad: 4 okt 2020 Redigerad: 4 okt 2020

Klurigt gränsvärde

Beräkna följande gränsvärde:

limx01ln(x+x2+1)-1ln(x+1)\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{\ln{(x+\sqrt{x^2+1}})}-\frac{1}{\ln{(x+1)}}

Albiki 5030
Postad: 6 okt 2020

Hej,

Med g(x)=1+x2g(x)=\sqrt{1+x^2} och f(x)=1ln(x+g(x))f(x) = \frac{1}{\ln(x+g(x))} kan differensen skrivas f(x)-f(0)f(x) - f(0) och Medelvärdessatsen ger

    f(x)-f(0)=f'(yx)·xf(x)-f(0) = f'(y_x) \cdot x

för något 0<yx<x.0<y_x<x. Kedjeregeln ger derivatan f'(x).f'(x).

Två trollinlägg raderade. /Mod

Micimacko 2098
Postad: 7 okt 2020
Albiki skrev:

Hej,

Med g(x)=1+x2g(x)=\sqrt{1+x^2} och f(x)=1ln(x+g(x))f(x) = \frac{1}{\ln(x+g(x))} kan differensen skrivas f(x)-f(0)f(x) - f(0) och Medelvärdessatsen ger

    f(x)-f(0)=f'(yx)·xf(x)-f(0) = f'(y_x) \cdot x

för något 0<yx<x.0<y_x<x. Kedjeregeln ger derivatan f'(x).f'(x).

Menar du att f ska vara en funktion av g? För x=0 går väl inte stoppa in?

Och hur kommer man vidare till svaret när man vet derivatan? Eller menar du att vi bara ska stoppa in x och säga att det är 0?

Albiki 5030
Postad: 7 okt 2020

Du har rätt att f(0)f(0) är odefinierat så som jag definierat ff och g.g. Jag hoppas att idén om att använda Medelvärdessatsen är användbar. 

Micimacko 2098
Postad: 25 okt 2020

Kommer det något facit? Eller iaf en ledtråd?

tomast80 3245
Postad: 25 okt 2020
Micimacko skrev:

Kommer det något facit? Eller iaf en ledtråd?

Gemensam nämnare och sen L'Hôpitals regel. Hoppades på nån annan smart lösning annars! ✊☺️

AlvinB 3847
Postad: 25 okt 2020 Redigerad: 25 okt 2020

Taylorutveckling blir någorlunda smidigt. Om vi låter f(x)=ln(x+x2+1)f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) blir

f'x=1+xx2+1x+x2+1=x2+1+xxx2+1+x2+1f'\left(x\right)=\dfrac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{x\sqrt{x^2+1}+x^2+1}

och

f''x=xx2+1+1(xx2+1+x2+1)-(x2+1+x)x2+1+x2x2+1+2x(xx2+1+x2+1)2f''\left(x\right)=\dfrac{\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1\right)(x\sqrt{x^2+1}+x^2+1)-(\sqrt{x^2+1}+x)\left(\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}+2x\right)}{(x\sqrt{x^2+1}+x^2+1)^2}

med vilket vi beräknar f(0)=0f(0)=0, f'(0)=1f'(0)=1 samt f''(0)=0f''(0)=0.

Vi kan då Maclaurinutveckla f(x)f(x):

fx=x+x3B1(x)f\left(x\right)=x+x^3B_1(x)

Utvecklingen för ln(1+x)\ln(1+x) är välkänd:

ln1+x=x-x22+x3B2x\ln\left(1+x\right)=x-\dfrac{x^2}{2}+x^3B_2\left(x\right)

Vi kan då skriva vårt gränsvärdesuttryck som:

1x+x3B1(x)-1x-x22+x3B2x=x-x22+x3B2x(x+x3B1x)(x-x22+x3B2x)-x+x3B1x(x+x3B1x)(x-x22+x3B2x)\dfrac{1}{x+x^3B_1(x)}-\dfrac{1}{x-\frac{x^2}{2}+x^3B_2\left(x\right)}=\dfrac{x-\frac{x^2}{2}+x^3B_2\left(x\right)}{(x+x^3B_1\left(x\right))(x-\frac{x^2}{2}+x^3B_2\left(x\right))}-\dfrac{x+x^3B_1\left(x\right)}{(x+x^3B_1\left(x\right))(x-\frac{x^2}{2}+x^3B_2\left(x\right))}

=-x22+x3(B2x-B1x)(x+x3B1x)(x-x22+x3B2x)=\dfrac{-\frac{x^2}{2}+x^3(B_2\left(x\right)-B_1\left(x\right))}{(x+x^3B_1\left(x\right))(x-\frac{x^2}{2}+x^3B_2\left(x\right))}

Förkortar vi nu med x2x^2 får vi

=-12+x(B2x-B1x)x+x3B1(x)x·x-x22+x3B2xx=-12+x(B2x-B1x)(1+x2B1(x))(1-x2+x2B2x)=\dfrac{-\frac{1}{2}+x(B_2\left(x\right)-B_1\left(x\right))}{\frac{x+x^3B_1(x)}{x}\cdot\frac{x-\frac{x^2}{2}+x^3B_2\left(x\right)}{x}}=\dfrac{-\frac{1}{2}+x(B_2\left(x\right)-B_1\left(x\right))}{(1+x^2B_1(x))(1-\frac{x}{2}+x^2B_2\left(x\right))}

Låter vi x0x\to0 får vi

limx01ln(x+x2+1)-1ln(x+1)=-12+0(1+0)(1+0)=-12\lim_{x\to0}\dfrac{1}{\ln(x+\sqrt{x^2+1})}-\dfrac{1}{\ln(x+1)}=\dfrac{-\frac{1}{2}+0}{(1+0)(1+0)}=-\dfrac{1}{2}

tomast80 3245
Postad: 26 okt 2020

Mycket vackert AlvinB! Hatten av!

Svara Avbryt
Close