Kluring
I parallellogrammen ABCD är AB = 12 och BC = 8 (cm)
Skärningspunkterna för bisektriserna till de fyra vinklarna A, B, C och D bildar hörn i fyrhörningen PQRS.
a) Bevisa att PQRS är en rektangel.
b) Beräkna sträckan PR
Du vill visa att alla vinklar i rektangeln är 90 grader.
Låt vinkeln i D (och B) vara x och vinkeln i A (och C) vara 180-x. Vinkeln i D som skärs av bisektrisen är x/2 och motsvarande vinkeln i A är (180-x)/2=90-x/2. Detta innebär att vinkeln i punkten P som tillhör triangeln ADP är 90 grader. Räta linjer gör att vinkeln innanför rektangeln blir 90 grader. Gör motsvarande på samtliga 4 vinklar i rektangeln.
b)
<DMA = <MAN (alternatvinklar)
<MAN = <MAD (AM bisektris)
Så triangel ADM är likbent, DM = 8cm, MC = 12-8 cm = 4 cm
Att PMCR är ett parallellogram framgår väl "av symmetriskäl": PR = MC = 4 cm.
Annars delas AM och NC mitt itu av höjderna DP respektive BR, så att PM = RC, sträckor som dessutom är parallella (<DMA = <DCN). Detta ger att PMCR är ett parallellogram.
===========
Variant: Av symmetriskäl kan man utgå från att en linje genom P och R, förlängd till respektive sida i parallellogrammet, delar dessa mitt itu och är parallell med de andra sidorna. Delen till vänster om P och delen till höger om R är båda 4 cm (följer av likbenta trianglar), vilket lämnar 12 cm - 4 cm - 4 cm = 4 cm till PR.
