3 svar
180 visningar
oggih Online 800 – F.d. Moderator
Postad: 29 jan 2020 Redigerad: 29 jan 2020

Kluring: Existerande och nollskild derivata medför injektivitet?

Kluring är kanske att ta i, men här kommer en kul övning för alla som har läst envariabelanalys.

Bevisa eller motbevisa:

Påstående. Om f:f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} är en deriverbar funktion, sådan att f'(x)0f'(x)\neq 0 för alla xx\in\mathbb{R}, så måste ff vara injektiv.

Moffen Online 917
Postad: 30 jan 2020 Redigerad: 30 jan 2020

Eftersom jag vill veta om det faktiskt stämmer eller inte så antar jag att jag får uppmärksamma den här tråden genom ett eget försök kanske...

Ett bevis genom motsägelse med hjälp av medelvärdessatsen för att påståendet stämmer:

Visa spoiler

Antag att f'x0 x. Antag även att f inte är injektiv. Då finns det xy, y<x, sådana att f(x)=f(y).

Medelvärdessatsen ger (eftersom f är en deriverbar funktion) att det finns något ξ(y, x) sådant att f(x)-f(y)x-y=f'(ξ).

På grund av antagandet har vi därför f(x)-f(y)x-y=0=f'(ξ), en motsägelse till antagandet att f'x0 x

Rent spontant tror jag att Calculus: counterexamples skulle ha nåt att säga om det här haha

oggih Online 800 – F.d. Moderator
Postad: 1 feb 2020 Redigerad: 2 feb 2020

Medelvärdessatsen strikes again!

Väldigt elegant lösning - och helt klart bättre än det jag hade i åtanke.


Innan jag går in på min lite längre lösning, så kanske jag skulle säga några ord om var det här påståendet kommer ifrån. Det visar sig att det finns en lärobok för Matematik Specialisering på gymnasiet (utgiven av Studentlitteratur) som innehåller följande stycke:

En funktion f(x)f(x) som är deriverbar i ett intervall II, där f'(x)0f'(x)\neq 0 för alla xIx\in I, sägs ha en invers i detta intervallet. [...] Att derivatan inte är noll någonstans i intervallet betyder att att det till varje yVfy\in V_f finns endast ett xx-värde. Då detta är uppfyllt sägs funktionen vara injektiv i intervallet II.

Även om författaren säkert inte menar det, så låter det väldigt mycket som att han försöker definiera begreppen 'inverterbarhet' och 'injektivitet' här, vilket blir väldigt förvirrande. Dels eftersom han inte riktigt verkar skilja på inverterbarhet och injektivitet, och dels eftersom vilkoret att derivatan är noll överallt på intervallet helt uppenbart inte är nödvändigt för vare sig injektivitet eller inverterbarhet (vi kan exempelvis ta f(x)=x3f(x)=x^3 som ett motexempel). Dessutom var det inte omedelbart klart för mig (och säkert inte för många av de tilltänkta läsarna) att vilkoret ens är tillräckligt för injektivitet...


Med detta sagt, här kommer min betydligt smutsigare lösning, och en liten extra kommentar på slutet, som gör att vi får någon slags utväxling för allt det extra jobbet jämfört med Moffens smidigare lösning ^_^

Lösningsförslag

Det ligger nära till hands att förmoda att följande lite starkare påstående gäller:

Starkare påstående. Om f:f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} är en deriverbar funktion, sådan att f'(x)0f'(x)\neq 0 för alla xx\in\mathbb{R}, så är ff antingen strängt växande eller strängt avtagande.

Om ff inte enbart är deriverbar utan kontinuerligt deriverbar är detta enkelt att visa.

Bevis för fallet när f'f' är kontinuerlig. Idén är att om f'f' är kontinuerlig, så kan den inte byta tecken utan att passera det förbjuda värdet noll. Mer formellt skulle vi kunna söka en motsägelse genom att anta att a,ba,b\in\mathbb{R} är sådana att f'(a)>0f'(a)>0 medan f'(b)<0f'(b)<0. Satsen om mellanliggande värde ger då att det finns ett ξ\xi mellan aa och bb sådant att f'(ξ)=0f'(\xi)=0, vilket motsäger antagandet om nollskild derivata. Vi drar därför slutsatsen att f'f' antingen är strängt positiv (så att ff är strängt växande) eller strängt negativ (så att ff är strängt avtagande). \square

Det visar sig att detta går att generalisera till alla deriverbara funktioner. Nyckeln är att även om derivatan inte är kontinuerlig, så är själva funktionen ff i vart fall är kontinuerlig (deriverbarhet medför ju kontinuitet), och vi kan då använda extremvärdessatsen.

Bevis för det generella fallet. Vi söker en motsägelse genom att anta att f'(a)>0f'(a)>0 och f'(b)<0f'(b)<0 för några a,ba,b\in\mathbb{R}. Vi antar också att a<ba<b (det motsatta fallet kan hanteras på liknande vis). Då ger extremvärdessatsen att ff har ett maximum på intervallet [a,b][a,b]. Med derivatans definition* kan vi direkt konstatera att maxvärdet inte kan antas i någon av ändpunkterna, eftersom det vore oförenligt med tecknet på f'(a)f'(a) och f'(b)f'(b). I stället måste maxvärdet antas för något ξ(a,b)\xi\in (a,b). Ytterligare en applicering av derivatans definition** ger då att f'(ξ)=0f'(\xi)=0, vilket motsäger premissen om nollskild derivata. Vi drar därför slutsatsen att f'f' antingen är strängt positiv (så att ff är strängt växande) eller strängt negativ (så att ff är strängt avtagande).\square

* Om aa är en maximipunkt så skulle det innebära att f(a+h)-f(a)h0\small\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\leqslant 0 för alla tillräckligt små h>0h>0, vilket skulle innebära att f'(a)0f'(a)\leqslant 0, vilket motsäger f'(a)>0f'(a)>0. På motsvarande vis skulle f'(b)0f'(b)\geqslant 0 gälla om bb vore en maximipunkt, vilket motsäger f'(b)<0f'(b)<0.

** Notera att f(ξ+h)-f(ξ)h0\small\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\leqslant 0 för alla tillräckligt små h>0h>0, vilket ger att f'(ξ)0f'(\xi)\leqslant 0, samtdigt som f(ξ+h)-f(ξ)h0\small\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\geqslant 0 för alla h<0h<0 med tillräckligt litet belopp, vilket ger f'(ξ)0f'(\xi)\geqslant 0.

En extra kommentar

Det som pågår bakom kulisserna här är att även om nu alla deriverbara funktioner tyvärr inte är kontinuerligt deriverbara, så är derivator i vart fall alltid "nästan kontinuerliga" (de är så kallade darbouxfunktioner) i bemärkelsen att de uppfyller egenskapen i satsen om mellanliggande värde.

Sats (Darboux sats). Låt f:f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} vara en deriverbar funktion. Om λ\lambda ligger strängt mellan f'(a)f'(a) och f'(b)f'(b) för några a,ba,b\in\mathbb{R}, så finns det alltid något ξ\xi mellan aa och bb sådant att f'(ξ)=λf'(\xi)=\lambda.

Bevis. Anta för enkelhetens skull att f'(a)>λ>f'(b)f'(a)>\lambda>f'(b) (det motsatta fallet visas analogt), och studera funktionen g(x)=f(x)-λxg(x)=f(x)-\lambda x med derivatan g'(x)=f'(x)-λg'(x)=f'(x)-\lambda. Vi har då g'(a)>0g'(a)>0 och g'(b)<0g'(b)<0. Enligt vad vi visade ovan måste då g'(ξ)=0g'(\xi)=0 gälla för något ξ(a,b)\xi\in(a,b). Detta ger f'(ξ)-λ=0f'(\xi)-\lambda=0, dvs. f'(ξ)=λf'(\xi)=\lambda. \square

Svara Avbryt
Close