Kluring (talteori)

Tillägg: 8 mar 2025 20:21

Gustor skrev:

Visa spoiler

Alla udda tal $2n+1$ går om man tar $(n+1)^2-n^2=2n+1$.

Alla kvadrater går ju självklart också om vi väljer ena talet till noll.

Men även $8=3^2-1^1$ och $12=4^2-2^2$. Faktum är att vi kan få alla tal på formen $4n+4$ genom $(n+2)^2-n^2$. Så alla multiplar av $4$ går också.

Vad händer om vi tar större skillnader?$(n+3)^2-n^2=6n+9$ är udda. Faktum är att alla udda differenser mellan $x$ och $y$ kommer ge oss udda tal. Eftersom $2ab+b^2$ är udda om och endast om $b$ är udda.

Om skillnaden är jämn får vi istället$(n+2k)^2-n^2=4k+4k^2$, återigen delbart med $4$.

Slutsats: alla udda tal går, samt alla multiplar av 4 och alla kvadrater.

---

Tillägg: 8 mar 2025 20:21

Visa spoiler

Hmm, fast kvadraten av ett udda tal är udda, och kvadraten av ett jämnt tal måste ha en faktor $2^2$, så alla kvadrater ingår i mängden av udda tal och multiplar av 4.

Snyggt löst! :D

Jag löste problemet på ett lite annat sätt med hjälp av modulo. Om du är nyfiken kan jag gärna förklara hur jag tänkte :)

matte_novisen skrev:

Visa spoiler

Alla positiva heltal m där m (mod 4) ≠ 2. Och även alla negativa versioner av dessa tal.

Yes, det stämmer, men skulle du kunna utveckla ditt resonemang lite mer? Hur skulle du visa att alla sådana $m$ kan skrivas som en differens av två heltalskvadrater? Och varför fungerar inte tal $\equiv 2 \pmod{4}$?