Kluven problemlösning jag inte lyckas lösa

Du använder både $a$  som punkten $x=a$ i derivatans funktion och som koefficient för $x^2$. Det skapar en hel del problem, och risk för fel. Du har i grunden gjort rätt, men det är några mindre fel emot slutet. Du får ej $bh^2$ och du har blandat ihop punkten $x=a$ och koefficienten $a$ och ej visat att svaret är linjärt i, i ditt fall, $a$ och, pga. samma $a$ för koefficienten glömt denna.

Gör så här istället:

Låt $f(x)=ax^2+bx+c$.

Studera

$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

Då
$f(x+h)-f(x)=a(x+h)^2+b(x+h)+c-(ax^2+bx+c)=a(x^2+2xh+h^2)+bx+bh+c-ax^2-bx-c=$

$ax^2+2axh+ah^2+bx+bh+c-ax^2-bx-c=2axh+ah^2+bh=h(2ax+ah+b)$
är
$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h(2ax+ah+b)}{h}=\lim_{h\to0}(2ax+ah+b)=2ax+b$
vilket är en linjär funktion i $x$.

Lucasaf skrev:

[...]

Mitt slutgiltiga svar var 2a + b. Skrev upp talet från början på följande sätt:

- (a(a+h)²  + b(a+h) + c) - (a * a² ) + (b * a ) + C) / H. 

[...]

Frågan lyder:

Visa med hjälp av derivatans definition att derivatan till varje andragradsfunktion är
en linjär funktion.

Hej och välkommen till Pluggkuten!

EDIT - såg inte att du redan fått svar när jag hade skrivit klart.

Det ser inte rätt ut. Du verkar ha använt a istället för x när du ställde upp differenskvoten och så saknar du några parenteser i täljaren.

Du borde ha gjort så här:

Låt $f(x)=ax^2+bx+c$ vara en godtycklig andragradsfunktion.

Då är $f(x+h)=a(x+h)^2+b(x+h)+c=$

$=a(x^2+2hx+h^2)+b(x+h)+c=$

$=ax^2+2ahx+ah^2+bx+bh+c$

Differenskvoten $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ blir då $\frac{ax^2+2ahx+ah^2+bx+bh+c-(ax^2+bx+c)}{h}=$

$=\frac{ax^2+2ahx+ah^2+bx+bh+c-ax^2-bx-c}{h}=$

$=\frac{2ahx+ah^2+bh}{h}=$

$=\frac{h(2ax+ah+b)}{h}=2ax+b+ah$

Nu kan du låta $h$ gå mot $0$ och efrersom termen $ah$ då går mot $0$ så blir resultatet f'(x)=ax+b $f'(x)=2ax+b$.

EDIT - Korrigerade skrivfel på sista raden.

Yngve skrev:

Nu kan du låta $h$ gå mot $0$ och efrersom termerna $ah$ då går mot $0$ så blir resultatet $f'(x)=ax+b$.

Tack så mycket för hjälpen! Varför blir det f'(x) = ax + b och inte f'(x) = 2ax + b? 

Lucasaf skrev:

Tack så mycket för hjälpen! Varför blir det f'(x) = ax + b och inte f'(x) = 2ax + b? 

Det blir det inte. Du har rätt och jag skrev fel.

Tack för påpekandet 👍