Kombinationer med tillåten repetition

Diamond skrev:

Jag förstår inte hur jag ska tänka angående 0>=x₁>=10 eller t ex x₁>= något värde. Alltså variabeln X₁. 

 Nej >= betyder $\geq$, så 0>=x₁>=10 betyder $0\geq x_1\geq10$, dvs att x₁ både ska vara mindre än eller lika med 0 och större än eller lika med 10, vilket inte är vettigt.

Det borde istället stå $0\leq x_i\leq10$.

Kan du ladda upp en bild på uppgiften?

Hej, ja det blev fel. Jag har uppdaterat uppgiften. 

Du skriver fortfarande att det är x₁ som ska ligga i intervallet, men visst står det x_i i uppgiften?

Dvs visst ska indexet vara i och inte 1?

Ah, vänta ska jag prova lägga till en bild.

Diamond skrev:

Ah, vänta ska jag prova lägga till en bild.

Bra, men ändra inte ursprungsinlägget mer.

Lägg istället in bilden som ett nytt svar.

Aha, OK, då är det vettigt.

Vilken av deluppgifterna fastnar du på?

c och d

c säger endast att x₁ ska vara som minst 1 och som mest 10, övriga fyra tal är fria.

d säger på samma sätt vilka intervall x₁, x₂ och x₃ ska ligga inom och att övriga två tal är fria.

Kan du beskriva detta steg för steg? Jämför gärna med hur man gör när en eller flera av variablerna är > eller = olika värden.

Hur löste du a- och b-uppgifterna?

Kan du läsa min stil?

n = 5   x_i = 2  i = 1, 2, ..., 5 0 => r = 21-5 * 2 = 11

Jag är inte bekant med notationen eller lösningsmetoden.

Ok, men kan du beskriva med annan lösningsmetod? Jag behöver förstå hur jag kan göra för att få fram ett svar.

Kan någon hjälpa mig med en steg för steg på uppgift 15 c? Titta på mitt svar kl 22:23 igår för vad jag menar med steg för steg. 

(nedrans, råkade uppdatera innan jag valde att posta)

Jag får det till att man kan beskriva uppgiften som att det ligger 21 kulor på en rad och vi skall placera 4 väggar som avslöjar var en urna slutar och nästa börjar. Detta gör att varje vägg kan placeras i 22 positioner så vi får 22*22*22*22 kombinationer om vi struntar i villkoret i c-uppgiften.

Tar vi hänsyn till att första urnan som mest skall få 10 kulor är det bäst att kika på komplementmängden, dvs de fall då det är minst 11 kulor i första urnan. Detta motsvarar att ingen vägg är i någon av de första 11 positionerna. Får ingen vägg placeras i de första 11 positionerna finns det bara 11 stycken möjliga positioner, så vi får 11*11*11*11 kombinationer.

Så det borde bli 22⁴-11⁴.

EDIT: Vid närmare eftertanke har jag nog inte tänkt helt rätt. Antag att vi skulle placera 1 kula i 10 urnor. Rent intuitivt förstår vi att detta kan ske på 10 vis, men metoden jag räknar med skulle det bli 2¹⁰ vis.

Hej @bedinsis, 

Tack för din input.

Kan du sätta upp ditt svar matematiskt så som jag gjort enligt reglerna för Diskret Matematik i b frågan? :) Då kan vi (jag) räkna ut och se om det är rimligt. 

Du verkar inte helt säker på ditt svar? Eller?

Dessvärre inte; jag är i samma sits som Yngve, jag förstår inte notationen. Jag känner bara igen att vid en vis typ av sådana här problem så fick man svaret genom att ta C([en siffra]+[en siffra]-[en siffra],[en siffra]), så jag antar att det är den du använt i b-uppgiften, men jag kommer inte ihåg den eller dess härledning.

Och jag tror att det blivit fel på mitt svar, ja, av precis det skäl som jag säger: applicerar man lösningsmetoden på ett enklare exempel så får vi fel svar, så då kan man nog inte lita på metoden på ett mer avancerat exempel.

Ok, tack för förklaringen och för att du försökte. Jag undrar om det finns någon som kan svara i det här forumet? Eller behöver jag gå till ett annat forum. 

Fråga b är för din info en "godkänd" fråga, medan fråga c som du försökte besvara är en "VG" fråga. 

@bedinsis och @yngve, jag tänker ändå att ni båda är inne på rätt spår, d v s Yngve; Vad står det egentligen? och Bedinsis 21 + 1, men inte positioner utan värden. Positionerna är variablerna, d v s 5 stycken plus avgränsningar, d v s 5 + 4. Men den första variabeln är begränsad, så där kommer Bedinsis -11 in, d v s 22-11 = 11. Vänta så ska jag se om jag inte ändå lyckas sätta upp den här! Jag återkommer...

Jag bara drabbas av en tanke: om det bara var godkänt-poäng på de två första uppgifterna så gissar jag att de är perfekt formulerade för formeln. Mao. att formeln du har besvarar hur många sätt man kan placera x(21) kulor i y(5) urnor om varje urna skall ha minst n(1 eller 2) kulor.

Då borde du kunna få ut hur många sätt som man kan placera 21 kulor i 5 urnor om varje urna skall ha minst 0 kulor. Och från detta ta bort de sätt där antal kulor i första urnan är 11 eller mer.

Hur många sätt man kan göra det så att det är 11 i första urnan borde vara att vi placerar först 11 i första urnan. sedan frågar vi oss på hur många sätt vi kan placera de 10 återstående i 5 urnor så att det finns minst 0 kulor i varje urna (att det redan ligger 11 i den första är ovidkommande för uträkningen).

Då har vi två uträkningar som kan utföras med hjälp av formeln, en för att hitta alla sätt att placera kulorna i urnorna och en för att hitta alla sätt där vi har minst 11 i den första urnan; subtraherar man den ena med den andra borde vi ha lösningen.

Hm, ja men jag gjorde nog själv ett tankefel i formeln på den här sista.

5 olika positioner. Alla kan vara 0-21, utom den första. Då behöver man ta minus på den första. Den kan inte vara 11 - 21, d v s 11 värden, som det inte kan vara, så de värdena behöver man subtrahera. 

Svaret blir 12650 - 1001 = 11649. Tack för alla bidrag!

Jag ser att du redan löst uppgiften, men jag lyckades härleda formeln med hjälp av dina anteckningar och vill därför sätta det på pränt för att det kan hjälpa dig eller någon annan att tolka uppgifter av det här slaget; om du känner att du redan begriper allt detta är det fritt fram att ignorera.

b-uppgiften sade att vi skulle fördela summan 21 över de 5 heltalen (olika x) på ett sätt som gör att varje tal är minst 2.

Om varje tal är minst 2 så kan vi börja med att säga att varje tal är 2+y_i, där det i själva verket är y-värdena vi är nyfikna på. För att ge 2 till varje x-värde så blir det endast 21-2*5= 11 värden kvar att fördela över y-värdena.

För att illustrera hur man fördelar 11 över 5 heltal kan man se det som att vi har en rad med 11 kulor som vi skall placera väggar mellan för att säga var ett tal börjar och nästa slutar. Med 5 tal (y:n) att fördela över måste vi ha 5-1=4 väggar.

Vi skall alltså skapa en ordning på 11+4=15 objekt, där vi samtidigt måste ta hänsyn till att kulornas inneboende ordning och väggarnas inneboende ordning inte har någon betydelse. Så om man skulle säga att det finns 15! sätt att skapa sådana ordningar på skulle man bli tvungen att dividera med 4! pga. att en hel del ordningar är identiska sånär som på att man kastat om väggarnas inneboende ordning, samt dividera med 11! pga. att en hel del ordningar är identiska sånär som på att man kastat om kulornas inneboende ordning. Så lösningen blir (15 över 11).

c-uppgiften löses genom att i tur och ordning besvara:

1. Hur många ordningar kan man bilda utan någon begränsning på x-värdena?

2. Hur många ordningar kan man bilda om x₁ är minst 11?

Tar man 1. minus 2. har man lösningen.

1. löses genom att vi har en rad med 21 kulor och skall placera 4 avgränsande väggar. Vi får (21+4)!, men måste ta hänsyn till kulornas inneboende ordning och väggarnas inneboende ordning, och dividera med 21! respektive 4! så vi får (25 över 21)=12650.

2. löses genom att säga att jobba med talen y_i, där y₁=x₁-11, övriga y identiska med respektive x. Vi får då att vi skall fördela 21-11=10 värden över 5 heltal.

Nu är det på samma form som vi är vana: Vi skall placera 10 värden och 4 väggar i en ordning: på hur många sätt kan detta ske? Jo, 14! sätt om man struntar i väggarnas och kulornas inneboende ordning, men det gör vi ju inte, så det blir 14!/(10!*4!) = (14 över 10) = 1001.