Kombinatorik

Man kanske ska dela in det i fall beroende på hur många som inte är pizza. Minsta sådana antalet är två, största är fem.

Jag vet att vi kommer få ett antal olika fall, men jag vet inte hur jag ska dela in fallen

Hahaha. Personen som skrev det här har antingen ingen humor alls eller har världens jobbigaste humor. (Att de har med sig obegränsat[oändligt] många pizzor i (a))

Låt oss representera en plockad rätt mha bokstäver F för falafelrulle, H för hamburgare, och P för pizza.

Vad jag brukar gilla är att börja med att representera utfall med siffer eller bokstavssekvenser.

Låt oss slänga ut några möjliga utplockningar

FHPPP, FPHPH, PHFPHH,...

edit: läste fel och att det var 5 personer som skulle välja en rätt när det egentligen var 8. Bara byt ut alla platser där det står 5 mot 8.

Ah, okej, vi kan representera utplockningarna ord med reglerna

Minst 1 F, max 2F

Minst 1H, max 3 H

Minst 1P, inget max på P (men effektivt max 3)

När man har ett specifikt antal bokstäver av varje typ så kan man använda multinomkoefficienter 

 Exempelvis är antalet ord med 2F, 1M och 2P givet av

${5 \choose 2, 1, 2} = \frac{5!}{2! 1! 2!}$

Vad man kan göra därefter är lista de olika

1F 1H 3P

1F 2H 2P

1F 3H 1P

...osv

och göra en brutal lista över alla de individuella multinomen. Detta förklarar den fetstilade kommentaren i slutet av (b). Det blir ingen snygg lösning.

Vill man abstrahera till det hela så kan man dock skriva

$\sum_{F + H + P = 5 \\ 1\leq F \leq 2 \\ 1 \leq H \leq 3 \\ 1 \leq P} {5 \choose F, H, P}$

och säga lol. 

hmmmmm de har va ju lite komplicerad, ska försöka och kolla om jag lyckas komma fram till nått

jag har hittills kommit fram till att vi kommer få 6 fall

Sidorspår. Skrev min kandidatuppsats om talbaser och uppräkningsmetoders tillämningar i kombinatorik. 

För att göra listan över antalen falaflar, hamburkare, osv i det aktuella ordet kan man använda samma metod som när man räkna upp i en talbas man bara har 'roll-over-regel' som beror av positionen. Se om ni ser mönstret:

11	1F1H6P
21	2F1P5P
12	1F2H5P
22	2F2H4P
13	1F3H4P
23	2P3H3P

Jämför med att räkna i bas 3 (med vänsterkonvention)

00
10
20
01
11
21
02
...

Men poängen är Ja, det finns 6 möjliga fall vad gäller antalet rätter av varje typ.

Om jag ska räkna antal kombinationer för  exempelvis FFHHPPPP hur gör jag då?

Jag tänkte såhär:

FF______  -->  $7·\left(\frac{6!}{2!4!}\right)$

HH______  -->  $7·\left(\frac{6!}{2!4!}\right)$

PPPP____ --> $5·\left(\frac{4!}{2!2!}\right)$

o sen tänkte jag att man gör så på varje fall och adderar alla, men detta blir fel

Multinomkoefficienter som jag listade. 

Att bestämma antal möjliga ord med en given mängd bokstäver är inget enkelt problem med det är ett standardproblem med en standardlösning. https://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_theorem#Number_of_unique_permutations_of_words 

okej nu kom jag fram till rätt svar tack så jättemycket! uppgiften var då inte så svår som jag trodde