Kombinatorik

Det är en bra början, men det stämmer inte riktigt att det finns $\binom{16}{7}$ val där varken Joakim eller hans kompisar blir valda. Antalet sådana val är $\binom{16}{11}$: tränaren väljer 11 spelare ur de 16 som inte är Joakim eller hans tre kompisar.

Om du subtraherar detta från alla möjliga val får du antalet val där minst en av Joakim, Bill, Bob eller Eugen ingår (komplementhändelsen till att ingen av dem blir vald). Men då kan t.ex. Bill och inte Joakim bli vald, så det hjälper oss inte riktigt.

Man kanske kan resonera så här istället:

Notera att det finns två sorters val där Joakim inte får spela med sina vänner.

• Antingen blir Joakim inte vald till matchen, vilket kan ske på $\binom{19}{11}$ sätt. Då får han inte spela alls, än mindre med en av sina kompisar.
• Eller så blir Joakim vald men ingen av hans vänner, vilket kan ske på $\binom{16}{10}$ sätt (Joakim väljs, och de resterande 10 väljs ur de 16 övriga spelarna).

Det totala antalet ogynnsamma fall är då $\binom{19}{11}+\binom{16}{10}$. Sannolikheten som frågas efter blir därför

$1 - \frac{\binom{19}{11} + \binom{16}{10}}{\binom{20}{11}}$.

Alternativt kan vi direkt beräkna antalet gynnsamma fall. För att Joakim ska spela med minst en kompis måste Joakim bli vald till att spela. De resterande spelarna kan väljas på $\binom{19}{10}$ sätt. Av dessa finns det $\binom{16}{10}$ där ingen av Joakims tre vänner ingår. 

Det totala antalet gynnsamma utfall blir då $\binom{19}{10} - \binom{16}{10}$, vilket ger sannolikheten

$\frac{\binom{19}{10}-\binom{16}{10}}{\binom{20}{11}}$.

Bonus: visa att dessa två uttryck är lika med hjälp av Pascals identitet:

$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1},\quad 1\leq k \leq n$.