12 svar
90 visningar
Solipsism är nöjd med hjälpen!
Solipsism 7
Postad: 6 jun 2019 Redigerad: 6 jun 2019

Kombinatorisk identitet till summa

Jag har fastnat på ett problem som lyder som följande 

Anta att f(x)=n=0αnxn f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\alpha\choose n} x^n konvergerar för |x|<1

Visa att (1+x)f'(x)=αf(x)(1+x)f'(x)=\alpha f(x)

 

Mitt försök:

(1+x)f'(x)=(1+x)n=1nαnxn-1=n=0[nαn+(n+1)αn+1]xn (1+x)f'(x)= (1+x) \sum_{n=1}^{\infty} n{\alpha \choose n}x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} [n{\alpha \choose n}+(n+1){\alpha \choose {n+1}} ]x^n

Här tänker jag att jag ska visa att nαn+(n+1)αn+1=ααn+1n{\alpha \choose n}+(n+1){\alpha \choose {n+1}}=\alpha{\alpha \choose {n+1}}

så börjar jag med vänster ledet så har vi att 

VL=nαn+αn+1+αn+1=nα+1n+1+αn+1=(n(α+1)+1)α(α-1)(α-n+2)(n+1)! VL=n\left({\alpha \choose n}+{\alpha \choose {n+1}}\right)+{\alpha \choose {n+1}} = n{{\alpha+1} \choose {n+1}}+{\alpha \choose {n+1}}=\frac{ (n(\alpha+1)+1)\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+2)}{(n+1)!}

Men jag fastnar på det sista uttrycket och har ingen aning om hur jag ska fortsätta, någon idé eller hint skulle uppskattas. 

PS. Kan någon också förklara hur man använder begin{align} här på pluggakuten

AlvinB 3032
Postad: 6 jun 2019 Redigerad: 6 jun 2019

Du är på rätt spår, men har tänkt lite fel. Du vill väl snarare visa att:

nαn+n+1αn+1=ααnn\begin{pmatrix}\alpha\\n\end{pmatrix}+\left(n+1\right)\begin{pmatrix}\alpha\\n+1\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}\alpha\\n\end{pmatrix}

(Notera att jag inte har något n+1n+1 i högerledets binomialkoefficient)

eftersom påståendet då följer ganska rakt av. Jag skulle använda mig av fakultetsdefinitionen för en binomialkoefficient, vilket ger:

VL=α!(n+1)!(α-n-1)!·n+1+α!n!(α-n)!·n=\text{VL}=\dfrac{\alpha!}{(n+1)!(\alpha-n-1)!}\cdot\left(n+1\right)+\dfrac{\alpha!}{n!(\alpha-n)!}\cdot n=

=α!(n+1)n!(n+1)α-n-1!+α!·nn!(α-n)!==\dfrac{\alpha!\cancel{(n+1)}}{n!\cancel{(n+1)}\left(\alpha-n-1\right)!}+\dfrac{\alpha!\cdot n}{n!(\alpha-n)!}=

Nu skulle vi vilja ha en gemensam nämnare på bråken. Detta kan vi göra genom att förlänga det vänstra bråket med (α-n)(\alpha-n):

=α!n!(α-n-1)!·(α-n)(α-n)+α!·nn!(α-n)!==\dfrac{\alpha!}{n!(\alpha-n-1)!}\cdot\dfrac{(\alpha-n)}{(\alpha-n)}+\dfrac{\alpha!\cdot n}{n!(\alpha-n)!}=

=α!(α-n)n!(α-n)!+α!·nn!(α-n)!=\dfrac{\alpha!(\alpha-n)}{n!(\alpha-n)!}+\dfrac{\alpha!\cdot n}{n!(\alpha-n)!}

Nu är det inte så långt kvar till att visa att detta är lika med det vi önskar. Ser du hur du skall göra?

Solipsism 7
Postad: 6 jun 2019 Redigerad: 6 jun 2019

Hej!

Ja slarvfel på mitt håll, det stämmer att det ska vara n och inte n+1

Ja jag ser :

α!(α-n)n!(α-n)!+α!·nn!(α-n)!=α!((α-n)+n)n!(α-n)!=ααn\frac{\alpha!(\alpha-n)}{n!(\alpha-n)!}+\frac{\alpha !\cdot n}{n!(\alpha-n)!}=\frac{\alpha!((\alpha-n)+n)}{n!(\alpha-n)!} =\alpha{\alpha \choose n}

Tack så mycket!

Har du något tips till den andra frågan om att använda "align" här på pluggakuten?

AlvinB 3032
Postad: 6 jun 2019 Redigerad: 6 jun 2019

\align funkar inte här på PA. Pluggakuten har egentligen inte riktig Latex, utan en konverterare används för att efterlikna vanlig Latex. Dessvärre är inte alla kommandon implementerade, och \align är ett av dessa.

Det går alltså inte att använda &-tecken för att få justera sina uttryck, utan man får antingen använda mellanslag för att manuellt justera koden eller bara leva med att allt blir vänsterjusterat.

Albiki 3929
Postad: 6 jun 2019 Redigerad: 6 jun 2019

Hej!

Vad händer med symbolen αn\binom{\alpha}{n} när n>αn > \alpha? Hur tolkas exempelvis symbolen (-1)!(-1)! som förekommer vid αα+1\binom{\alpha}{\alpha+1}?

Albiki 3929
Postad: 6 jun 2019

Om det underförstått gäller att 0nα0\leq n \leq \alpha så är serien

    n=0αnxn\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n

konvergent för alla reella xx eller hur?

Solipsism 7
Postad: 6 jun 2019 Redigerad: 6 jun 2019

Hej Albiki

När α<n\alpha<n och α\alpha inte är ett heltal så är αn{\alpha \choose n} aldrig noll och alternerar tecken för varje term. I heltasfallet så är koefficienten noll för α<n\alpha<n

Ja det stämmer mycket bra det sista du skriver. För att förtydliga så är detta problem om den Binomiala serien (engelska)

Det vill säga det generella problemet handlar om konvergensen av taylor serien (runt 0) för (1+x)α(1+x)^{\alpha} för alla α\alpha och inte bara heltal. 

Solipsism 7
Postad: 6 jun 2019 Redigerad: 6 jun 2019

Anledningen till |x|<1|x|<1 kommer från restformerna till taylor expansionen som ges utav

Cauchy : Rn(x)=(n+1)αn+1x(1+t)α-1x-t1+tnR_{n}(x)=(n+1){\alpha \choose {n+1}}x(1+t)^{\alpha-1}\left(\frac{x-t}{1+t}\right)^n

Lagrange: Rn(x)=αn+1xn+1(1+t)α-n-1R_{n}(x)={\alpha \choose{n+1}}x^{n+1}(1+t)^{\alpha-n-1}

Där t[x,0]t \in [x,0] eller t[0,x]t \in [0,x] i båda restformlerna

Albiki 3929
Postad: 6 jun 2019

Om α\alpha inte är ett heltal så är αn\binom{\alpha}{n} inte definierad som en kvot av fakulteter, och då är beräkningarna som AlvinB gjort tidigare i tråden meningslösa?

Solipsism 7
Postad: 6 jun 2019 Redigerad: 6 jun 2019

Okej jag förstår, men då antar jag också att mitt användande av identiteten αn+αn+1=α+1n+1{\alpha \choose n}+{\alpha \choose {n+1}}={{\alpha+1} \choose {n+1}} också är felaktigt? 

Solipsism 7
Postad: 6 jun 2019 Redigerad: 6 jun 2019

Med lite om och men så har jag nu fått fram svaret som gäller för den andra formen av binomial koefficienten .

Deriveringen är som följande:

 nαn+(n+1)αn+1=n·α(α-1)(α-n+1)n!+α(α-1)(α-n)n!=n{\alpha \choose n}+(n+1){\alpha \choose {n+1}}=\frac{n\cdot \alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}+\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n)}{n!}=

=α(α-1)(α-n+1)(n+(α-n))n!=αα(α-1)...(α-n+1)n!=\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)(n+(\alpha-n))}{n!}=\alpha\frac{\alpha(\alpha-1)\dots...(\alpha-n+1)}{n!}

=ααn=\alpha{\alpha \choose n}

AlvinB 3032
Postad: 7 jun 2019

Notationen

αn\begin{pmatrix}\alpha\\n\end{pmatrix}

tycker jag enbart bör åsyfta 'vanliga' binomialkoefficienter där α\alpha och nn är heltal. Om det som menas är Newtons generaliserade binomialkoefficienter tycker jag att det bör specificeras.

Jag antog att α\alpha var ett heltal för att inte fastna i diskussioner om vilken typ av tal α\alpha var, men vi kanske borde klargjort detta från början. Ett tips till TS nästa gång är att ge all information du har om uppgiften, annars kan det leda till att vi som svarar gör antaganden som inte stämmer överens med uppgiften!

Solipsism 7
Postad: 7 jun 2019

Hej AlvinB!

Jag ber om ursäkt och jag skulle varit tydligare i min representation av frågan och ska göra det i framtiden.

Svara Avbryt
Close