Komma fram till lösningsmetoden för diofantiska ekvationer

Jo. Var kommer 36 och 51 ifrån?

Laguna skrev:

Jo. Var kommer 36 och 51 ifrån?

 oj, ska vara 12 och 17. Men förstår ändå inte varför de ska vara med.

Du får nog skäll av en moderator nu för att du ändrar i frågan.

Det ska inte stå 12 och 17, det ska stå t.ex. -12 och 17. Nej, det ska inte stå det heller. Det ska stå -17 och 12. Eftersom -17*12 + 12*17 = 0 så är alltid x-17, y+12 en lösning om x,y är det. Det kan man göra vilket antal gånger n man vill.

Du får nog skäll av en moderator nu för att du ändrar i frågan.

Det har Laguna rätt i. Det står i Pluggakutens regler att man inte får "redigera ihjäl" ett besvarat inlägg däremot är det tillåtet att stryka över det som var fel och skriva det det riktigaefteråt. /moderator

Laguna skrev:

Du får nog skäll av en moderator nu för att du ändrar i frågan.

Det ska inte stå 12 och 17, det ska stå t.ex. -12 och 17. Nej, det ska inte stå det heller. Det ska stå -17 och 12. Eftersom -17*12 + 12*17 = 0 så är alltid x-17, y+12 en lösning om x,y är det. Det kan man göra vilket antal gånger n man vill.

 Jag förstår inte riktigt. Hur blir x-17,y+12 en lösning om x och y är de för att -17*12+12*17=0? 

Vi sätter in: 12(x-17) + 17(y+12) = 12x - 12*17 + 17y +17*12 = 12x +17y.

Laguna skrev:

Vi sätter in: 12(x-17) + 17(y+12) = 12x - 12*17 + 17y +17*12 = 12x +17y.

 Varför sätter man in de?

För att visa att om x, y är en lösning så är x-17,y+12 det också. 

Laguna skrev:

För att visa att om x, y är en lösning så är x-17,y+12 det också. 

 Tror jag är med på lite men hur tar jag fram (x-17) och (y+12)?

Hej!

Du har konstaterat att $1 = 12 \cdot (-7) + 17 \cdot 5$ vilket medför att $7 = 12 \cdot (-49) + 17 \cdot 35$ så att den ursprungliga ekvationen kan skrivas

    $12x+17y=12 \cdot (-49) + 17 \cdot 35 \iff 12(x+49) + 17(y-35) = 0$.

Nu är talen $12$ och $17$ relativt prima, så ekvationen medför att $x+49 = 17 \cdot n$ och $y-35 = 12 \cdot m$ där $n$ och $m$ är två  heltal.

    $12 \cdot 17 \cdot n + 17 \cdot 12 \cdot m = 0 \iff n+m=0$.

De sökta heltalen $x$ och $y$ måste alltså vara sådana att

    $x = -49 + 17n$ och $y = 35 - 12n$

där $n$ kan vara vilket heltal som helst.

Albiki skrev:

Hej!

Du har konstaterat att $1 = 12 \cdot (-7) + 17 \cdot 5$ vilket medför att $7 = 12 \cdot (-49) + 17 \cdot 35$ så att den ursprungliga ekvationen kan skrivas

    $12x+17y=12 \cdot (-49) + 17 \cdot 35 \iff 12(x+49) + 17(y-35) = 0$.

Nu är talen $12$ och $17$ relativt prima, så ekvationen medför att $x+49 = 17 \cdot n$ och $y-35 = 12 \cdot m$ där $n$ och $m$ är två  heltal.

    $12 \cdot 17 \cdot n + 17 \cdot 12 \cdot m = 0 \iff n+m=0$.

De sökta heltalen $x$ och $y$ måste alltså vara sådana att

    $x = -49 + 17n$ och $y = 35 - 12n$

där $n$ kan vara vilket heltal som helst.

 Tack så mycket!

Ett snyggare svar är

    $x=2+17n$ och $y=-1-12n$

där $n$ kan vara vilket heltal som helst; det är lättare att kontrollera att "heltalspunkten" $(2,-1)$ ligger på lösningskurvan till $12x+17y=7$ än att "heltalspunkten" $(-49,35)$ gör det.

Albiki skrev:

Ett snyggare svar är

    $x=2+17n$ och $y=-1-12n$

där $n$ kan vara vilket heltal som helst; det är lättare att kontrollera att "heltalspunkten" $(2,-1)$ ligger på lösningskurvan till $12x+17y=7$ än att "heltalspunkten" $(-49,35)$ gör det.

 Okej, hur kommer man fram till som här, 2 och -1 istället? 

Sätter n = 3.

Laguna skrev:

Sätter n = 3.

 Okej! Tack!