Komplex analys #4

Hej!

När du skrev om den oändliga summan efter variabel bytet, du har förenklat lite för mycket.
Variabel bytet är korrekt, men då måste du också ta hänsyn till att t stegas inte med 1, utan med 2 i summan. Så, variabel bytet hjälpte inte så mycket egentligen...

Dvs, efter variabel bytet, summan borde ha blivit:

$\sum _{t=2,4,6,...,\infty }\frac{6}{t(t-1)}=6·\left(\sum _{t=2,4,6,...,\infty }\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t}\right)=6·\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+...\right)$, som är inte direkt samma sak som du kom fram till.

Är du med?

$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^{\infty }\frac{3}{2k^2-k}=3\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1)k}=6\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1)\left(2k\right)}=6\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}= \\ 6\left[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+...\right]=6 \ln 2 \\ Obs: \\ \ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+... MacLaurin-utveckling \\ Om x=1 \\ \ln 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+... \end{gathered}$$