Komplex analys #4

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{3}{2 k^{2} - k} = [v a r i a b e l b y t e k = t / 2] = \sum_{t = 2}^{\infty} \frac{3}{2 {\frac{t}{4}}^{2} - \frac{t}{2}} = \sum_{t = 2}^{\infty} \frac{3}{{\frac{t}{2}}^{2} - \frac{t}{2}} = \sum_{t = 2}^{\infty} \frac{3}{\frac{1}{2} (t^{2} - t)} = {6 \sum}_{t = 2}^{\infty} \frac{1}{t^{2} - t} = = {6 \sum}_{t = 2}^{\infty} \frac{1}{t (t - 1)} = [p a r t . b r å k u p p d e l n i n g] = {6 \sum}_{t = 2}^{\infty} \frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t} = 6 \lim_{n \to \infty} \sum_{t = 2}^{n} \frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t} = = 6 \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2 - 1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3 - 1} - \frac{1}{3}) + . . . + (\frac{1}{(n - 1) - 1} - \frac{1}{(n - 1)}) + (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}) = = 6 \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + . . . + (\frac{1}{(n - 2)} - \frac{1}{(n - 1)}) + (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}) = = 6 \lim_{n \to \infty} 1 - \frac{1}{n} = 6$

Enligt facit är svaret 6ln(2). Jag vet inte var jag missar ln(2). Hjälp ),:

Hej!

När du skrev om den oändliga summan efter variabel bytet, du har förenklat lite för mycket.
Variabel bytet är korrekt, men då måste du också ta hänsyn till att t stegas inte med 1, utan med 2 i summan. Så, variabel bytet hjälpte inte så mycket egentligen...

Dvs, efter variabel bytet, summan borde ha blivit:

$\sum_{t = 2, 4, 6, . . ., \infty} \frac{6}{t (t - 1)} = 6 \cdot (\sum_{t = 2, 4, 6, . . ., \infty} \frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t}) = 6 \cdot (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} + . . .)$ , som är inte direkt samma sak som du kom fram till.

Är du med?

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{3}{2 k^{2} - k} = 3 \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k - 1) k} = 6 \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k - 1) (2 k)} = 6 \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k} = 6 [(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + . . .] = 6 \ln 2 O b s : \ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{6}}{6} + . . . M a c L a u r i n - u t v e c k l i n g O m x = 1 \ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + . . .$

Svara