Komplex analys - bevis CR-ekvationer

Hej!

Det är ett steg i beviset för CR-ekvationerna som är lite oklart.

Så som vårt bevis ser ut är att eftersom man antar att $f$ är differentierbar i en punkt $z_0$ kommer derivatagränsvärdet existera för alla vägar mot denna punkt. Man kan då gå via $x$ respektive $y$ -axeln och se att CR-ekvationerna kommer ut.

Problemet uppstår då vi rör oss längs $y$ -axeln. I beviset vår föreläsare gått igenom gör hon följande där hon låter $\Delta z=i\Delta y$ :

$f ´ (z_{0}) = \lim_{∆ z \to 0} \frac{f (z_{0} + ∆ z) - f (z_{0})}{∆ z} = \lim_{i ∆ y \to 0} \frac{f (z_{0} + i ∆ y) - f (z_{0})}{i ∆ y} = - i \frac{\partial f}{\partial y} (z_{0})$

För mig blir det väldigt oklart hur $i$ kan brytas ut. Det är ju en del av variabeln som närmar sig 0. Är det bara $\Delta y$ som ska mot 0 och eftersom $i$ bara är en konstant så går allt mot 0 ändå, eller hur funkar detta? Det känns väldigt random att man bara väljer att strunta i $i$ :et i nämnare när vi går i gräns.

Jag skulle nog tänka på det som att det är $\Delta y$ går mot noll som du är inne på. Den imaginära enheten är inte en variabel som kan förändras, utan är att betrakta som konstant. Dock är det sant att uttrycket $i\Delta y$ går mot noll om $\Delta y\to 0$ .

Var ser du att i "bryts ut"? Det är väl redan utbrutet när jag läser som 1/i * lim..... Förlänger vi med i får vi i/(-1)* (partiell derivata i z_0.

Gustor skrev:
Jag skulle nog tänka på det som att det är $\Delta y$ går mot noll som du är inne på. Den imaginära enheten är inte en variabel som kan förändras, utan är att betrakta som konstant. Dock är det sant att uttrycket $i\Delta y$ går mot noll om $\Delta y\to 0$ .

Det som blir knasigt för mig är att förändringen vi lägger på $z_0$ då skiljer sig från nämnaren. Funkar det ändå?

---

Var ser du att i "bryts ut"? Det är väl redan utbrutet när jag läser som 1/i * lim..... Förlänger vi med i får vi i/(-1)* (partiell derivata i z_0.

Nää, inte bryts ut. Uttryckte mig lite konstigt. Menade att problemet för mig var att inte hela nämnare följde med in i derivatan. Men hela grejen kanske bara är att någon skillnad kring punkten och en skillnad i nämnaren ska båda gå mot 0. Det känns dock som att det borde finnas något krav på hur snabbt de går mot 0.

Eftersom vi antar att derivatan

$\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$

existerar, är gränsen oberoende av riktning. Då gäller i synnerhet att gränsen längs den imaginära axeln existerar och har samma värde:

$\lim_{i\Delta y \to 0}\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}$

Eftersom $|i\Delta y|=|\Delta y|$ innebär $i\Delta y\to 0$ precis samma sak som $\Delta y\to 0$ . Men notera att $\Delta y$ är en reell parameter. Som du påpekar kan man lite informellt säga att om $h=h(\Delta y)$ är kontinuerlig, $h(\Delta y)\to0$ då $\Delta y\to0$ , och

$\lim_{\Delta y\to0}\frac{h(\Delta y)}{\Delta y}=c\neq0,$

så gäller $h(\Delta y)=c\Delta y+O(|\Delta y|^2)$ och därför är $h(\Delta y)\to0$ och $\Delta y\to0$ ekvivalenta sätt att gå mot noll. I vårt fall är $h(\Delta y)=i\Delta y$ och $c=i\neq0$ . Om du tvärtom har ett riktningsberoende gränsvärde gäller det att se upp eftersom en multiplikation med $i$ innebär en rotation (ändring av riktning) i det komplexa talplanet.

Notationsmässigt stör jag mig mer på det sista steget, där man istället för omvägen över reella partiella derivator av reella funktioner $u$ och $v$ använder den formella beteckningen $\frac{\partial f}{\partial y}=T\left(i\right)$ .

Okej, då förstår jag, tack!

Svara

Visa senaste svar