Komplex analys - beviskoncept i beviset för Cauchys integralformel
Hej!
I vårt bevis för Cauchys integralformel så gör vi följande:
Konceptet jag har problem:
- Varför skapar vi en mindre sluten disk? Hur används det senare förutom att all vidare analys sker innanför denna disk? Är det för att vi vill visa att storleken inte spelar roll så länge vi kan skapa en disk med dessa egenskaper?
- Vad är det som gör att man inte använder hela tiden? Vad är syftet med ? Är det ett slags rörligt som banar väg för det riktiga :et att vi kan krympa cirkeln godtyckligt mycket?
- I sista steget av beviset så visar vi att om måste också det? Hur då? Beror det på homotopin?
Bumpar denna.
Beviset är strukturellt okej men blir svårläst eftersom en hel del definitioner inte känns motiverade och att språket pendlar mellan handviftande informellt och tekniskt vilket testar ens tålamod eftersom man inte vet om det blir någon avlöning av att sätta sig in i definitionerna.
Om bevistexten:
Storheten r introduceras för att kunna definiera definitionsmängden till A(ρ)-funktionen som intervallet (0,r). När vi har en kontinuerlig funktion så kan vi använda alla gränsvärdesideer från reella analysen.
Rätt mycket lossnar om man bara hänvosar till intervallet (0,r) oftare. (Jag hade även önskat R istället för r men är en smaksak)
Idén är att om A är en konstant funktion på (0,r) och lim A = 0 så måste A vara konstant 0. Det bevisas med gula epsilon delta men det hade varir bra att skriva att ρ ligger i intervallet (0,r)
Homotopi används på två ställen:
1. Det används implicit när vi påstår att alla kurvintegralerna är identiska då vi utnyttjar någon annan slags sats där homotopi var ett krav. (Eg tror jag att första ordningens deriverbarhet räcker men då deriverbara komplexa funktioner är analytiska så vitt jag vet så blir det en distinktion utan skillnad.)
2. Det används explicit när vi i diskussionen av A-funktionen utgår från att A är en kontinuerlig funktion vilket förutsätter att f är kontinuerlig för annars kan vi inte göra ett gränsvördesresonemang.
Så egentligen är det mest kontinuitet snarare än homotopi som åberopas.
1. Låt r vara radien hos en cirkel som är omsluten av kurvan.
Stort tack!🙏
Min föreläsare är generellt väldigt upp och ner i hur rigorös hon är.
