Komplex analys - likformig konvergens

Har en uppgift att beräkna Maclaurinserien för f(z)=1/(1-z)^2 genom att utnyttja lämplig serie. Noterar att min serie är derivatan av 1/(1-z) som har en mycket enkel utveckling för |z|<1 nämligen den geometriska. I nästa steg måste jag termvis derivera den geometriska serien termvis och detta kräver likformig konvergens. Att |z|<1 är inte ett korrekt krav för detta, vi kräver |z|<= r för alla r<1, vilket jag för det första finner mycket oinuitivt (fattar orskaen genom supinum-definitonen men men...). För det andra, kan jag verkligen anta |z|<=r<1, eller tappar jag vissa värden från mitt ursprungliga antagande att |z|<1?

När det gäller specifikt potensserier, så får man derivera (eller integrera) termvis i det inre av konvergenscirkelskivan. Därmed är det lagligt att derivera varje term för sig i den öppna enhetscirkelskivan.

Vill man resonera via likformig konvergens, så räcker det med lokalt likformig konvergens. Potensserien som fåtts via termvis derivering är inte likformig konvergent på hela mängden {|z| < 1}, men den är lokalt likformig konvergent där.

Vad betyder lokal konvergens på en mängd E?

Funktionsserien kallas för lokalt likformig konvergent på mängden E om det till varje punkt $x \in E$ finns en öppen omgivning $U \subset E$ sådant att funktionsserien konvergerar likformigt på $U$ .

Har man lokalt likformig konvergens av den deriverade serien (och åtminstone punktvis konvergens av ursprungsserien), så får man derivera termvis i varje sådan omgivning $U$ . Dessa omgivningar täcker dock den öppna enhetscirkelskivan, så man får derivera termvis i hela öppna skivan.

Alternativ karakterisering av lokalt likformig konvergens på en öppen mängd E är att serien konvergerar likformigt på varje kompakt delmängd $K\subset E$ .

Slutna cirkelskivor med radien $r \in (0, 1)$ tömmer ut enhetscirkelskivan, då varje punkt i mängden {|z|<1} har avståndet till origo mindre än 1, d.v.s. till varje punkt i enhetscirkelskivan finns det ett $r \in (0, 1)$ så att cirkelskivan med radien r innefattar den här punkten. Termvis derivering gick därmed bra i varje punkt i mängden {|z|<1}.

Svara