5 svar
68 visningar
1PLUS2 är nöjd med hjälpen
1PLUS2 277
Postad: 14 nov 2020 13:07

Komplex andragradsekvation

 

Lös:  2+iz2+1-7iz-5=0

1. Jag vill få z2självt & dividerar med 2+i, därefter utvecklar jag och får:

z2-1+3iz-2-i=0

2. Jag kvadratkompletterar och får:

z-1+3i22-1+3i22-2-i=0

3. Jag sätter första operanden lika med w och utvecklar, jag får:

w2=-52i  

4. Jag sätter w=a+bi & ansätter en hjälpekvation som fås: a2-b2=52, därefter fås ekvationssystemet:

a2+a2=0    (1)a2-a2=52    (2)2ab=-52     (3) (1)+(2):  a=±52(2)-(1):  b=±52

5. Eftersom (3) har negativt tecken i HL medför det att a & b har olika tecken! Jag får kombinationerna:

w1=52-52iw2=-52+52i

6. Rötter får jag nu som:

z1=w1+1+3i2=1+52+3i-5i2z2=1-52+3i+5i2

 

Svaret ska vara: z1=iz2=1+2i

Vet ej vad jag har gjort för fel? Det ända tänkbara är om jag möjligen tänkt fel med att få Z för sig självt i början av uträkningen?...

joculator 3661 – F.d. Moderator
Postad: 14 nov 2020 13:39

Kan du kolla på steg 3 igen?

Laguna 14639
Postad: 14 nov 2020 14:23

Steg 1 också. i är en lösning till originalekvationen, men inte till den du fått fram i steg 1.

Men det är helt rätt metod. 

1PLUS2 277
Postad: 14 nov 2020 20:24

Hur gör jag för att reducera ursprungsekvationen? Jag vill ju reducera uttrycket så att z2blir för sig självt... Men det känns som att det är där det felar. Kan ni visa hur ni gör i början av detta problem?

Dividera alla termer med (2+i), t ex (1-7i)/(2+i) multiplicera täljare och nämnare med  (2-i). Kommer du vidare?

Albiki 5320
Postad: 14 nov 2020 22:17 Redigerad: 14 nov 2020 22:18

Hej,

Steg 1. Multiplicera ekvationen med konjugatet 2-i2-i; för reell koefficient.

    5z2-5(1+i3)z-5(2-i)=0z2-(1+i3)z-(2-i)=0.5z^2-5(1+i3)z-5(2-i)=0\iff z^2-(1+i3)z-(2-i)=0.

Steg 2. Kvadratkomplettera och inför ny variabel; för en binomisk ekvation.

    z2-(1+i3)z-(2-i)=(z-0.5(1+i3))2-0.25(1+i3)2-(2-i)w2=bz^2-(1+i3)z-(2-i)=(z-0.5(1+i3))^2-0.25(1+i3)^2-(2-i) \implies w^2 = b

där w=z-0.5(1+i3)w=z-0.5(1+i3) och b=2-i+0.25(1+i3)2=i0.5b=2-i+0.25(1+i3)^2=i0.5

Steg 3. Polär form med DeMoivre. w=reivw = re^{iv} och b=0.5eiπ/2+i2πnb=0.5e^{i\pi/2 + i2\pi n} där nn heltal ger

    r2ei2v=0.5eiπ/2(1+4n)r=0.52 och v=π/4+πn\displaystyle r^2e^{i2v} = 0.5e^{i\pi/2(1+4n)} \iff r=0.5\sqrt{2} \text{ och } v=\pi/4+\pi n

Steg 4. Två lösningar

    w1=0.52eiπ/4=0.5(1+i)w_1 = 0.5\sqrt{2}e^{i\pi/4}=0.5(1+i) och w2=0.52ei5π/4=-0.5(1+i)w_2=0.5\sqrt{2}e^{i5\pi/4}=-0.5(1+i)

med motsvarande z-värden

    z1=0.5(1+i)+0.5(1+i3)=1+i2z_1=0.5(1+i)+0.5(1+i3)=1+i2 och z2=-0.5(1+i)+0.5(1+i3)=i.z_2=-0.5(1+i)+0.5(1+i3)=i.

Svara Avbryt
Close