Komplex ekvation

På den här uppgiften borde jag anta $z=a+bi ?$

Ja, det kan du göra, men det blir lite bökigt att ta fram ett uttryck för z³ då.

Det kan nog vara enklare att skriva om ekvationen till z³ = -27i, ansätta polär form z = r(cos(v)+i*sin(v)) och sedan använda de Moivres formel för att skriva om ekvationen.

===

Det går såklart utmärkt att istället ansätta z = r*e^iv.

Jag har inte lärt mig Eulers formel än. Men jag prövar att göra De Movires formel.

Är det så här

Jag inser nu att jag glömde skriva fram radien eftersom koefficenten framför min realdel är ju ett.

Arup skrev:

Är det så här

[...]

Nej, tanken är att du ska skriva det kpmplexa talet -27i på polär form.

Om du markerar talet -27i i det komplexa talplanet så ser du att det kan skrivas som 27(cos(270°+n*360°)+i*sin(270°+n*360°)).

Med z = r(cos(v)+i*sin(v)) så ger de Noivres formel att z³ = r³(cos(3v)+i*sin(3v)).

Ekvationen blir därför 

r³(cos(3v)+i*sin(3v)) = 27*(cos(270°+n*360°)+i*sin(270°+n*360°))

Kommer du vidare därifrån?

Arup skrev:

Jag inser nu att jag glömde skriva fram radien eftersom koefficenten framför min realdel är ju ett.

Nej, det komplexa talet -27i kan skrivas som 0-27i, vilket betyder att

• Realdelen är lika med 0
• Imaginärdelen är lika med -27

Borde jag inte först ta reda på absolutbeloppet av z ? Vilket kan beräknas mha pythagoras' sats.

Arup skrev:

Borde jag inte först ta reda på absolutbeloppet av z ? Vilket kan beräknas mha pythagoras' sats.

Jag är lite osäker på vad du menar.

• Absolutbeloppet av -27i är 27
• Om z = r(cos(v)+i*sin(v)) så är absolutbeloppet av z lika med r

ska man inte beräkna r, vilket jag förmodar är radien i cirkeln

$$\begin{gathered} r=\sqrt{{27}^2+1^2} \\ r=\sqrt{730} \end{gathered}$$

27^2+ 0^2

Är inte koefficienten framför $z^{3 }$ett?

Jag är lite osäker på vad argumentet är 

$$\begin{gathered} z^3 = - 27i = 0-27i \\ \Rightarrow \\ \left|z^3\right| = \left|0 -27i\right| \\ \Rightarrow \\ \left|z^3\right| = \sqrt{0^2+{27}^2} = 27 \end{gathered}$$

Raderat inlägg.  Tures är bättre. 😀

Jag fick argumentet till ca 88 grader är det korrekt beräknat ?

Nej det är fel, 

Om du vill räkna ut argumentet analytiskt är det klokt att först rita, sedan tar man 

arctan(imaginärdel/realdel) problemet med arctan är att man får ett värde mellan pi/2 och -pi/2 som svar, man måste titta i sin bild för att se i viken kvadrant talet ligger.

I det här fallet är det en komplikation eftersom

re/im = -27/0 vilket argument kan det motsvara?

så här ser det ut, den markerade vinkeln är 270 grader (eller -90)

Arup skrev:

Jag fick argumentet till ca 88 grader är det korrekt beräknat ?

Du blandar ihop det.

Ekvationen lyder z³ = -27i

I vänsterledet står det ett kompext tal z³

I högerledet står ett annat komplext tal -27i

Det ekvationen säger är att dessa två komplexa tal ska vara lika.

Det ör de bara om de dels har samma argument, dels har samma belopp.

Vi vill nu ta reda på vilket argument och vilket belopp det komplexa talet -27i har.

Metoden att tangens för argumentet är lika med imaginärdel/realdel fungerar bara om realdelen är skild från 0. Annars blir det ju division med 0.

Men det komplexa talet -27i (dvs 0-27i) har ju 0 som realdel (dvs det är ett rent imaginärt tal). Därför kan du inte använda arctangens för att bestämma argumentet här.

Men det som är bra med rent imaginära tal är att de befinner sig på imaginärdelsaxeln i det komplexa talplanet.

Detta betyder att argumentet antingen är 90° (om imaginärdelen är positiv) eller 270° (om imaginärdelen är negativ, som i det här fallet).

Det viktiga här är alltså att markera det komplexa talet -27i I det komplexa talplanet.

Då minskar risken att gå vilse.

Sådana här uppgifter förstås enklast genom att använda $z=R{e}^{i\pi x}$.

Ekvationen blir då  $R^3{e}^{3i\pi x} = 27e^{i\pi \left(3/2+2\pi n\right)}$

($e^{i\pi 3/2} =-i$). 

Då blir x = 1/2 + n 2/3

Det här sättet att jobba i den komplexa enhetscirkeln är kraftfullt och värt att lära sig.

Yngve jag förstår inte vad du menar med "skild från noll" ?

Att ett tal a är "skilt från 0" brtyder att talet inte är lika med 0 dvs $a\neq0$.

Jag förstod inte vad du menade: varför metoden med arctan inte riktigt fungerade här ?

Hur blir det divison med noll ?

Jag började så här.

Jag fick slir på bläck

Arup skrev:

Jag förstod inte vad du menade: varför metoden med arctan inte riktigt fungerade här ?

Hur blir det divison med noll ?

Metoden med arctan går ut på att argumentet v till ett komplext tal a+bi uppfyller sambandet tan(v) = b/a, dvs imaginärdel b dividerat med realdel a.

För det komplexa talet -27i (dvs 0-27i) så gäller det att imaginärdelen är -27 och realdelen är 0.

Imaginärdel dividerat med realdel blir då -27/0, dvs division med 0.

Blev det tydligare då?

Arup skrev:

Jag började så här.

Jag fick slir på bläck

Bra, men du har råkat skriva fel på ekvationen. Den ska vara z³+27i = 0.

Och z³ = 27i betyder inte att z = 3i.

Yngve skrev:

Arup skrev:

Är det så här

[...]

Nej, tanken är att du ska skriva det kpmplexa talet -27i på polär form.

Om du markerar talet -27i i det komplexa talplanet så ser du att det kan skrivas som 27(cos(270°+n*360°)+i*sin(270°+n*360°)).

Med z = r(cos(v)+i*sin(v)) så ger de Noivres formel att z³ = r³(cos(3v)+i*sin(3v)).

Ekvationen blir därför 

r³(cos(3v)+i*sin(3v)) = 27*(cos(270°+n*360°)+i*sin(270°+n*360°))

Kommer du vidare därifrån?

Jag fortsätter härifrån för att visa hela standardförfarandet för att lösa liknande ekvationer.

För att ekvationen ska vara uppfylld så måste det komplexa talet i VL vara lika med det komplexa talet i HL.

För att två komplexa tal ska vara lika varandra så krävs det dels att deras absolutbelopp är lika, dels att deras argument är lika. 

Absolutbeloppet av det komplexa talet i VL är r³. Absolutbeloppet av det komplexa talet i HL är 27. Det ger oss ekvationen r³ = 27, med lösning r = 3.

Argumentet för det komplexa talet I VL är 3v. Argumentet för det komplexa talet I HL är 270°+n*360°. Det ger oss ekvationen 3v = 270°+n*360°, med lösningar v = 90°+n*120°.

Lösningarna i intervallet 0 $\leq$ v < 360° fås nu för n = 0, 1 och 2.

Svar:

z₁ = 3(cos(90°)+i*sin(90°))

z₂ = 3(cos(210°)+i*sin(210°))

z₃ = 3(cos(330°)+i*sin(330°))

Kortare skrivet som z = 3(cos(90°+n*120°)+i*sin(90°+n*120°)), där n = 0, 1, 2.

Rita gärna ut dessa tre lösningar i det komplexa talplanet och jämför med bilden i svar #21.

==================

Sammanfattning av standardmetod för att lösa ekvationer av typen zⁿ = w, där w är ett givet komplext tal:

1. Ansätt z = r(cos(v)+i*sin(v))
2. de Moivres formel ger då att zⁿ = rⁿ(cos(nv)+i*sin(nv))
3. Skriv w på polär form w = s(cos(u+n*360°)+i*sin(u+n*360°))
4. Ekvationen blir då r(cos(v)+i*sin(v)) = s(cos(u+n*360°)+i*sin(u+n*360°))
5. Lösningen fås för de r och v som uppfyller ekvationerna rⁿ = s och nv = u+n*360°

Är s z^3 ?

Arup skrev:

Är s z^3 ?

Nej s är absolutbeloppet av det kända komplexa talet w.

I den specifika uppgiften z³ = -27i så är det kända komplexa talet w = -27i och absolutbeloppet av detta är s = |w| = |-27i| = 27.

Men hängde du med på den generella metoden(steg 1-5)?

Om du vill kan jag illustrera metoden med ett påhittat exempel

Yngve skrev:

Om du vill kan jag illustrera metoden med ett påhittat exempel

ok

================================================

Här är standardmetoden för att lösa liknande problem exemplifierad.

================================================

Som exempel tar vi ekvationen

$z^4=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i$

Dvs $z^4=w$, där $w=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i$

Steg 1: Ansätt z som ett okänt komplext tal på polär form med absolutbelopp r och argument v

Ansätt $z=r(\cos(v)+i\cdot\sin(v))$

Steg 2: Använd de Moivres formel för att skriva om z-termen

de Moivres formel ger då att

$z^4=r^4(\cos(4v)+i\cdot\sin(4v))$

Steg 3: Skriv w på polär form

$w=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i$

Absolutbeloppet av w:

$|w|=|2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i|=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4$

Argumentet för w kallar vi u och där gäller:

$\tan(u)=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=1$, vilket ger att 

$u=\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi$ (om w ligger i första kvadranten)

eller 

$u=\frac{5\pi}{4}+n\cdot2\pi$ (om w ligger i tredje kvadranten)

Eftersom w ligger i första kvadranten så gäller

$u=\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi$

Om vi sätter ihop ovanstående så får vi att

$w=4(\cos(\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi)+i\cdot\sin(\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi))$

Steg 4: Skriv om ekvationen med hjälp av talen på polär form

Ekvationen $z^4=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i$ kan nu skrivas som

$r^4(\cos(4v)+i\cdot\sin(4v))=4(\cos(\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi)+i\cdot\sin(\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi))$

Steg 5: Lös ekvationen

Det komplexa talet i VL är lika med det komplexa talet i HL om både absolutbeloppen och argumenten är lika. Det ger oss de två ekvationerna

$r^4=4$, med lösning $r=\sqrt{2}$.

Den negativa lösningen förkastas eftersom absolutbeloppet per definition är icke-negativt.

$4v=\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi$, med lösningar $v=\frac{\pi}{16}+n\cdot\frac{\pi}{2}$

Om vi nu sätter ihop allt så får vi

$z_1=\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{16})+i\cdot\sin(\frac{\pi}{16}))$ (för n = 0)

$z_2=\sqrt{2}(\cos(\frac{9\pi}{16})+i\cdot\sin(\frac{9\pi}{16}))$ (för n = 1)

$z_3=\sqrt{2}(\cos(\frac{17\pi}{16})+i\cdot\sin(\frac{17\pi}{16}))$ (för n = 2)

$z_4=\sqrt{2}(\cos(\frac{25\pi}{16})+i\cdot\sin(\frac{25\pi}{16}))$ (för n = 3)

Eller kortare: $z=\sqrt{2}(\cos(\frac{25\pi}{16}+n\cdot\frac{\pi}{2})+i\cdot\sin(\frac{25\pi}{16}+n\cdot\frac{\pi}{2}))$ för n = 0, 1, 2, 3.

Jag har bett WolframAlpha visa lösningarna:

Vi ser att lösningarna ligger jämnt fördelade på en cirkel runt origo i det komplexa talplanet, vilket stämmer med hur det borde vara.

==============

Är det något av stegen du vill att vi förklarar närmare?

Ja, jag undrar varför metoden arctan inte funkar för att hitta argumentet här ?

Jag menar förstås den ursprungliga frågan.

Arup skrev:

Ja, jag undrar varför metoden arctan inte funkar för att hitta argumentet här ?

Jag menar förstås den ursprungliga frågan.

Det beskrev jag i svar #26.

Var det något där du vill att vi förklarar närmare?

japp

OK. Nu skriver jag ett antal påståenden kring komplexa tal på rektangulär och polär form. Vilket/vilka av dessa vill du att vi förklarar närmasre?

1. Ett komplext tal z kan på rektangulär form skrivas a+bi, där a är talets realdel och b är talets imaginärdel 
2. Det komplexa talet a+bi kan i det komplexa talplanet illustreras som en punkt med koordinaterna (a, b)
3. Sträckan från origo till det komplexa talet z = a+bi har längden $\sqrt{a^2+b^2}$ och kallas absolutbeloppet av z. Olika beteckningar är |z| och Abs z.
4. Medursvinkeln v från den positiva delen av (den horisontella) realdelsaxeln till sträckan nämnd i föregående punkt kallas argumentet för z och betecknas ofta Arg z.
5. Om talet z = a+bi ligger i första kvadranten (dvs om både a och b är positiva) så gäller $0 < v < \frac{\pi}{2}$ radianer. Argumentet kan då beräknas med hjälp av sambandet tan(v) = b/a, dvs v = arctan(b/a).
6. Om talet z = a+bi ligger på (den vertikala) imaginärdelsaxeln så är realdelen a lika med 0. Argumentet v kan då inte beräknas med hjälp av sambandet tan(v) = b/a eftersom nämnaren a då är lika med 0. 

Den 6:e punkten

Håller du med om första meningen i punkt 6?

Borde inte argumentet då vara ${90}^{°}$eller $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$?

Bara om realdelen är positiv. Om realdelen är negativ så är argumentet 270 grader (eller -90 grader).

Arup skrev:

Borde inte argumentet då vara ${90}^{°}$eller $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$?

Nu tappar vi tråden lite.

Du ville få en tydligare förklaring till varför det inte går att använda arctan för att bestämma argumentet för det komplexa talet z = -27i.

Det var det jag försökte förklara med punkt 1-6.

Känner du att du har fått den förklaringen eller vill du att vi utvecklar mer?

Jag ska nog kika lite mer på detta med papper och penna.

Återkommer om jag får mer funderingar.

Yngve på näst sista raden i inlägg #7 skrev du

Borde det inte stå $r^3\left(\cos \right(3v)+i\sin (3v\left)\right)={27}^3\left(\cos \right(270+n\times 360)+i\sin (270\times 360\left)\right) ?$

Arup skrev:

Yngve på näst sista raden i inlägg #7 skrev du

Borde det inte stå $r^3\left(\cos \right(3v)+i\sin (3v\left)\right)={27}^3\left(\cos \right(270+n\times 360)+i\sin (270\times 360\left)\right) ?$

Nej, enligt steg 3 i "standardmetoden" (se svar  #34) så ska det där stå absolutbeloppet av w.

I det fallet är w = -27i och absolutbeloppet är därför 27.

I inlägg #34 så upphöjde du din r term

Jag undrar även när du beräknade argumentet för vinkeln u i inlägg #34 fick du fram 

$$\begin{gathered} \tan \left(u\right)=\left)\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\ \tan \right(u)=1 \\ u=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+n\times 2\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

Men tangens har ju peioden $\mathrm{\pi }$eller $180°$

Arup skrev:

I inlägg #34 så upphöjde du din r term

Ja, i exemplet i svar #34 så är

• vänsterledet z⁴. Om man då ansätter z = r(cos(v)+i*sin(v)) så blir z⁴ = r⁴(cos(4v)+i*sin(4v)).
• högerledet $w=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i$. Då blir $s=|w|=4$

=======

I ursprungsuppgiften är w = -27i och då blir s = |w| = 27.

Arup skrev:

Jag undrar även när du beräknade argumentet för vinkeln u i inlägg #34 fick du fram 

$$\begin{gathered} \tan \left(u\right)=\left)\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\ \tan \right(u)=1 \\ u=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+n\times 2\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

Men tangens har ju peioden $\mathrm{\pi }$eller $180°$

Ekvationen $\tan(u)=1$ har lösnigsmängderna

• $u_1=\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi$. Alla vinklar I denna lösningsmängd ligger i första kvadranten.
• $u_2=\frac{5\pi}{4}+n\cdot2\pi$. Alla vinklar I denna lösningsmängd ligger i tredje kvadranten.

Eftersom $w=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i$ ligger I första kvadranten så använder vi bara lösningsmängden $u_1$.

Läs gärna mer om argumentet till komplexa tal på polär form här. Fråga sedan oss om allt du vill att vi förklarar närmare 

I min matte bok stod det att tangens endast har peioden 180

Det räcker inte att hitta en vinkel med rätt tangensvärde. Du måste hitta rätt vinkel med rätt tangensvärde.

Om tan(u) är roten ur 3, kan u vara 60 grader eller 240 grader. 

Om tan(u) är roten ur 3, och sin(u) och cos (u) är positiva kan u vara 60 grader, inte  240 grader. 

Arup skrev:

I min matte bok stod det att tangens endast har peioden 180

Ja, det stämmer.

Jag delade upp det i två lösningsmängder för att enklare kunna avfärda den ena.

Men OK, jag uttrycker det så här istället:

Ekvationen $\tan(u)=1$ har lösningsmängden $u=\frac{\pi}{4}+m\cdot\pi$, där m är ett heltal 

Eftersom w ligger I första kvadranten så är det endast de jämna värdena på m som passar. Alla udda värden på m ger ju en vinkel som ligger i tredje kvadranten.

Om vi nu sätter m = 2n så säkerställer vi att m är ett jämnt tal och vi får då $u=\frac{\pi}{4}+2n\cdot\pi$, vilket även kan skrivas som $u=\frac{\pi}{4}+n\cdot2\pi$, vilket är samma som jag skrev för $u_1$ i svar #50.

Arup skrev:

Ja, jag undrar varför metoden arctan inte funkar för att hitta argumentet här ?

Jag menar förstås den ursprungliga frågan.

Men tillbaka till ordningen.

Känner du att du har fått svar på varför metoden med arctan inte fungerar för att hitta argumentet i ursprungsfrågan, dvs då w = -27i?

Tror jag har löst det nu

Det finns ett flertal otydligheter i din uträkning.

På första raden skriver du z³-27i = 0, men ursprungsekvationen är z³+27i = 0.

På samma rad skriver du att w = z³-27i, men det stämmer inte med standardmetoden jag beskrev tidigare, att skriva om ekvationen till z³ = w. 

På rad 2 skriver du $w=\sqrt{1^2+0^2}$, men varifrån får du det?

På rad 6 skriver du att $r^3=1(\cos(3v)+i\cdot\sin(3v))$, men det stämmer inte. Det skulle betyda att det reella talet $r^3$ är lika med det komplexa talet $cos(3v)+i\cdot\sin(3v)$.

======

Jag föreslår att du börjar om från början och ät noga med att följa steg 1 - 5 i min beskrivning av standardmetoden.i svar #28.

Om du vill kan vi gå igenom stadardmetoden på denna uppgift tillsammans, men då

• Att det är du själv som skriver ner lösningsstegen.
• Att vi tar det steg för steg, dvs jag ber dig skriva steg 1 och så jobbar vi tills du fått ordning på det, innan vi fortsätter med nästa steg.

Vill du pröva det?

Har jag fått till det nu ?

Det gulmarkerade stämmer inte.

Du skriver att ekvationen är z³-37i =0 men den är z³+27i = 0.

Du skriver på ett ställe att r = 27 och på ett annat ställe att r³ = 27.

Jag tror att du blandar ihop z och w.

=====

Men ditt slutliga svar stämmer.

Säg till om du vill ha hjälp enligt svar #57.

Tydligare ?

Jag undrar hur man kunde lösa den mha av Eulers formel. Spg Hansas inlägg i #21, men begrepp dessvärre inte tillvägagångssättet. 

Arup skrev:

Tydligare ?

Ja! Mycket bra!

Arup skrev:

Jag undrar hur man kunde lösa den mha av Eulers formel. Spg Hansas inlägg i #21, men begrepp dessvärre inte tillvägagångssättet. 

Du använder exakt samma tillvägagångssätt, men istället för att använda "trigonometrisk polär form" $z=r(\cos(v)+i\cdot\sin(v))$ så använder du "exponentiell polär form" $z=r\cdot e^{iv}$, där r är absolutbeloppet och v är argumentet precis som tidigare.

Jag hjälper dig med början:

Ansätt $z=r\cdot e^{iv}$.

Då blir $z^3=r^3\cdot e^{i\cdot3v}$

Skriv $w=-27i$ på exponentiell polär form: $w=27\cdot e^{\frac{3\pi}{2}+n\cdot2\pi}$

Kommer du vidare därifrån?

Fördelen med detta är att det inte blir lika mycket att skriva.

Jag undrar hur hittar jag ett uttryck för alla vinklar med exponentiell form ?

Jag har gjort en ansats

Arup skrev:

Jag har gjort en ansats

[...]

Det gulmarkerade stämmer inte, det verkar som om du fortfarande blandar ihop z med w. Jag föreslår att du använder lösningsmetoden jag har beskrivit steg för steg.

===============

Även här har det blivit fel. Den imaginära enheten saknas i exponenten.

Det ska vara $w=27e^{i\cdot(\frac{3\pi}{2}+2\pi k)}$

============

Och slutligen blev det fel när du delade exponenten med 3, det ska vara

$z=3e^{i\cdot(\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi k}{3})}$

Har jag fått till det ?

Nej, du blandar återigen ihop w och z, troligtvis eftersom du inte följer standardmetoden tillräckligt noga. Se bild, i högerledet ska du skriva w på polär form. Faktorn 3 ska därför inte vara med i exponenten där.

==================

Du kan använda standardmetoden 1-5 även här. Den enda skillnaden är att vi använder exponentiell polär form istället för trigonometrisk polär form:

Ekvationen är $z^3=w$, där $w=-27i$

1. Ansätt $z=re^{iv}$
2. de Moivres formel ger då att $z^3=r^3e^{3iv}$
3. Skriv $w$ på exponentiell polär form $w=27e^{i(\frac{3\pi}{2}+n\cdot2\pi)}$
4. Ekvationen blir då $r^3e^{3iv}=27e^{i(\frac{3\pi}{2}+n\cdot2\pi)}$
5. Lösningen fås för de $r$ och $v$ som uppfyller ekvationerna $r^3=27$ och $3v=\frac{3\pi}{2}+n\cdot2\pi$, dvs $r=3$ och $v=\frac{\pi}{2}+n\cdot\frac{2\pi}{3}$

Svar: $z=3e^{i(\frac{\pi}{2}+n\cdot\frac{2\pi}{3})}$, för $n=0,1,2$

=====

Hängde du med eller är det något steg du vill att vi förklarar närmare?

vad hände med faktorn 3 ?

Jag förstår inte vad du menar. Det ska inte vara någon faktor 3 i högerledets exponent eftersom högerledet ska bestå av w, inte av w³.

Vill du lära dig standardmetoden?

jag mena 3an i exponenten. 

Ska den inte multipliceras med argumentet ?

Ja, jag vill lära mig standardmetoden.

OK då tar vi det steg för steg.

Skriv inga färdiga lösningar nu utan svara bara på mina frågor.

Är du med på att ekvationen $z^3+27i=0$ kan skrivas $z^3=w$, där $w=-27i$?

japp

OK, bra, då går vi vidare.

Steg 1: Ansätt $z=re^{iv}$.

Är du med så långt?

Om ja, vad blir då Steg 2?

De här följer väl samma logik som inlägg #34

Ja, det är standardmetoden. Men eftersom du ville lära dig den och du ofta blandar ihop det så tänker jag att vi går igenom den steg för steg, men att du skriver stegen istället för att jag gör det.

====/

Så, om du är med på steg 1, dvs ansatsen $z=re^{iv}$, vad blir då steg 2?

Jag undrar bara argumentet är väl pi/2 och inte 3pi/2 ?

Tillägg: 7 apr 2026 21:45

glöm det jag förstår

steg 2:

$z^3=r^3{e}^{3iv}$

Har jag följt alla steg i standardmetoden ?

Ja, i stort sett.