Komplexa andragradsekvationer

Kvadraten av (3-2i)/2 är inte ett reellt tal.

Bubo skrev:

Kvadraten av (3-2i)/2 är inte ett reellt tal.

 Jag förstår inte hur det påverkar min uträkning?

qazedc skrev:

Bubo skrev:

Kvadraten av (3-2i)/2 är inte ett reellt tal.

 Jag förstår inte hur det påverkar min uträkning?

 w^2 får jag eftersom z+(3-2i/2) är w, så får jag w i kvadrat -6i - 5/4. Flyttar över -6i - 5/4 till höger led och får w i kvadrat = 6i + 5/4. Ser nu att det är lite otydligt, men vi har fått lära oss att substituera på detta sätt och sedan jämföra realdelar och imaginära delar. w^2=6i + 5/4  och w^2 är även a^2-b^2+2abi . Jämför realdelar och imaginära delar och få a^2-b^2 = 5/4 och 2ab = 6

Titta på din kvadratkomplettering igen.

Det gör ju att du får helt andra siffror att jobba med. De -5/4 som du subtraherar när du kvadratkompletterar skall vara men är inte ((3-2i)/2)^2.

AndersW skrev:

Det gör ju att du får helt andra siffror att jobba med. De -5/4 som du subtraherar när du kvadratkompletterar skall vara men är inte ((3-2i)/2)^2.

 Insåg att jag skrev lite otydligt, läs min redigering på föregående kommentar

Jo men de 5/4 du subtraherar i din kvadratkomplettering, Vad är de? Vad kommer de ifrån? Det skall vara $(\frac{3-2i}{2}{)}^2$ men detta får jag till något helt annat.

AndersW skrev:

Jo men de 5/4 du subtraherar i din kvadratkomplettering, Vad är de? Vad kommer de ifrån? Det skall vara $(\frac{3-2i}{2}{)}^2$ men detta får jag till något helt annat.

 $z^2+(3-2i)z-6i = 0$

$(z+\frac{(3-2i)}{2}{)}^2 = z^2+2\times z\times (\frac{3-2i}{2})+(\frac{9+4i^2}{4}) =z^2+z(3-2i)+(\frac{9-4}{4})=z^2+(3-2i)z+\frac{5}{4}$

$$\begin{gathered} \frac{5}{4}+k = -6i \\ k=-6i-\frac{5}{4} \end{gathered}$$

Detta är väl helt galet, men det är så jag har gjort på övriga tal och det har fungerat

Det är fortfarande så att $(\frac{3-2i}{2}{)}^2\ne \frac{9+4i^2}{4}$. Du saknar en komplexterm i detta. Det är bara detta ( tror jag) sedan är din metod korrekt.

Hej Q!

Du påstår att $(3-2i)^2$ är samma sak som $9-4$, vilket är fel.

AndersW skrev:

Det är fortfarande så att $(\frac{3-2i}{2}{)}^2\ne \frac{9+4i^2}{4}$. Du saknar en komplexterm i detta. Det är bara detta ( tror jag) sedan är din metod korrekt.

 Ok, fattar det nu men får fortfarande inte ihop svaret. Är kvadratkompletteringen  (z+((3-2i)/2))^2 -3i -5/4 ??

Skrev ett utförligt svar om mina uträkningar men sidan uppdaterades och mitt svar försvann och nu är jag för frustrerad för att skriva om det. Har suttit med detta i över en timme nu men jag får inte z=2i eller z=-3. Mitt absolutbelopp blir 13/4 vilket bara resulterar i kvadratrötter i mina ekvationer i den senaste uträkningen jag gjorde. blir galen

Du kan räkna på ett papper och lägga in en bild.

qazedc skrev:

AndersW skrev:

Det gör ju att du får helt andra siffror att jobba med. De -5/4 som du subtraherar när du kvadratkompletterar skall vara men är inte ((3-2i)/2)^2.

 Insåg att jag skrev lite otydligt, läs min redigering på föregående kommentar

qazedc, det står i Pluggakutens regler att man inte får redigera ett inlägg som har blivit besvarat (däremot är det OK att komplettera det med t ex en rättelse). Detta beror på att om du ändrar ditt inlägg och tar bort det som var fel, så blir tråden väldigt svårbegriplig. /moderator

Ja, kvadratkompetteringen är korrekt nu. Jag såg ett fel till du gjort i dina ekvationer som nog resulterar i dina rötter. Den tredje ekvationen är ju pythagoras sats, bör det inte vara absolutbeloppet av (w)^2 i HL?

Glöm inte sedan att det är w du räknat ut, inte z.

Hej Q!

Kvadratkomplettering av andragradspolynomet ger

    $z^2+2cz-6i = (z+c)^2 - (c^2+6i)$

där $c = 1.5-i$.  Notera att $c^2 = (1.5-i)^2 = 1.5^2 - 3i + i^2 = 1.25 - 3i$ så andragradsekvationen som ska lösas är

    $w^2 = 1.25+3i$

där $w = z+c$.

Skrivs andragradsekvationen på rektangulär form med $w = a+ib$  får man följande ekvation.

    $(a^2-b^2)+i2ab = 1.25 + 3i$.

För att detta ska vara möjligt måste realdelarna vara lika och imaginärdelarna vara lika, vilket ger ett ekvationssystem.

    $a^2-b^2=1.25$

    och $2ab = 3$.

Modulen (absolutbeloppet) till det komplexa talet $w^2$ ska vara lika med modulen till det komplexa talet $1.25+3i$ vilket ger ekvationen

    $|w^2| = |w|^2 = a^2+b^2 = \sqrt{1.25^2 + 3^2} = \sqrt{10.5625}$.

Detta medför att

    $2a^2 = 1.25 + \sqrt{10.5625} \iff a^2 = 0.625+0.5\sqrt{10.5625}=2.25$

och

    $2b^2 = \sqrt{10.5625}-1.25\iff b^2 = 0.5\sqrt{10.5625}-0.625 = 1$

vilket betyder att $a = 1.5$ eller $a=-1.5$ och $b=1$ eller $b=-1$. Tillsammans med kravet att $2ab = 3$ ser man att om $a=1.5$ så måste $b=1$ och om $a=-1.5$ så måste $b=-1$.

Resultat: Det komplexa talet $w$ kan anta två möjliga värden, $1.5+i$ eller $-(1.5+i)$, vilket medför att det komplexa talet $z$ kan anta något av de två möjliga värdena $1.5+i-(1.5-i) = 2i$ eller $-1.5-i-(1.5-i)=-3$.