6 svar
74 visningar
filipsrbin är nöjd med hjälpen
filipsrbin 309
Postad: 19 dec 2021 11:55

Komplexa ekvationer

Hej!

Skulle verkligen vilja få lite hjälp med dessa typer av ekvationer. 

Säg att vi har : 

z4+81=0

Då är det inte problem för mig att inse att z4=-81, men, varför blir detta:

z4=81eiπ?

Vad exakt är det som händer här? 

De använder Eulers formel. :)

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Eulers_formel 

filipsrbin 309
Postad: 19 dec 2021 12:20
Smutstvätt skrev:

De använder Eulers formel. :)

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Eulers_formel 

Okej, tack!
Har kollat igenom stencilen min professor försett mig med men ingenstans nämner han Eulers formel..

För han har löst uppgiften på det här sättet: 

z4=81eiπ  >zk =3ei(π+2)4

Och utifrån att jag kollar på det han gjort så ser jag att 4:an i nämnaren representerar 814, så fyran blir nämnare, och resultatet blir då 3:an. Det jag har svårt att förstå är hur -81 blir 81eiπ..

Groblix 405
Postad: 19 dec 2021 12:42 Redigerad: 19 dec 2021 12:43

Här förutsätter jag att du är bekant med binomiska ekvationer?

Tänk dig ett tal i det komplexa planet där Realdelen är -81 och Imaginärdelen är 0. Det talet ligger 81 "steg" (absolutbeloppet) från (0,0) och sedan vinkeln π från positiva Realaxeln. Då kan vi skriva det talet på polär form just så här 81eiπ

Gjorde ett lösningsförslag nedan. Då kanske du förstår bättre vart saker kommer från?

 

z=zeiθz4=z4ei4θ-81=-81ei arg(-81)=81ei(π+2) z4=-81z4ei4θ=81ei(π+2) z4=814θ=π+2z=3θ=π+24z=zeiθ=3ei(π+2)4

filipsrbin 309
Postad: 19 dec 2021 13:01
Groblix skrev:

Här förutsätter jag att du är bekant med binomiska ekvationer?

Tänk dig ett tal i det komplexa planet där Realdelen är -81 och Imaginärdelen är 0. Det talet ligger 81 "steg" (absolutbeloppet) från (0,0) och sedan vinkeln π från positiva Realaxeln. Då kan vi skriva det talet på polär form just så här 81eiπ

Gjorde ett lösningsförslag nedan. Då kanske du förstår bättre vart saker kommer från?

 

z=zeiθz4=z4ei4θ-81=-81ei arg(-81)=81ei(π+2) z4=-81z4ei4θ=81ei(π+2) z4=814θ=π+2z=3θ=π+24z=zeiθ=3ei(π+2)4

Jodå känner till binomiska ekvationer! Lösningsförslaget hjälpte faktiskt en del. 
Om jag drar ett exempel som är ett tentaexempel: 

z139 + 23i = 0

Då kommer detta bli z139 = -23i

Detta är dock inte lika självklart men z=r*eiπ och -23i = 23*ei3π2 eller ?

då är alltså (r*eiv)139 = 23ei3π2  >>r139 * ei*139v = 23ei3π2 r139  = 23 (Beloppet)139v=3π2+ n * 2π (argumentet)r = 23139 v = 3π278+n * 2π139

Stämmer detta? 

Groblix 405
Postad: 19 dec 2021 13:11

Det tycker jag. Du får alltså 139 st lösningar (fås genom 139 olika värden på n som ger olika vinklar). Dock kan jag inte tänka mig att du måste skriva ut alla 139 :)

filipsrbin 309
Postad: 19 dec 2021 13:39
Groblix skrev:

Det tycker jag. Du får alltså 139 st lösningar (fås genom 139 olika värden på n som ger olika vinklar). Dock kan jag inte tänka mig att du måste skriva ut alla 139 :)

Se där! Kul, då känns det bättre inför tentan imorgon :D

Tack för din hjälp!! 

Svara Avbryt
Close