Komplexa funktioner

Hej!

Jag undrar om jag tänkt rätt i följande bevis. Påståendet är följande:

Om $f\left(z\right)$är kontinuerlig i $z_0$är även $\overline{f\left(z\right)}$ kontinuerlig i samma punkt.

Jag använder definitionen för kontinuerliga komplexa funktioner. Eftersom $f\left(z\right)=u(x,y)+iv(x,y)$ är kontinuerlig i $z_0$ är både $u$ och $v$ kontinuerliga i $z_0=(x_0,y_0)$. Alltså gäller

$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }u(x,y)=\alpha och \underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }v(x,y)=\beta$

Låt $\epsilon >0$. Då existerar ett $\delta >0$ sådant att

$\left|z-z_0\right|<\delta \Rightarrow \left|u-\alpha \right|<\frac{\epsilon }{2} och \left|v-\beta \right|<\frac{\epsilon }{2}$

Då gäller

$\left|\overline{f\left(z\right)}-\overline{f\left(z_0\right)}\right|=\left|(u-iv)-(\alpha -i\beta )\right|\le \left|u-\alpha \right|+\left|v-\beta \right|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$

Då är påståendet bevisat. Är detta korrekt?