Komplexa tal 2

hej, jag ska lösa ekvationen :

$(1 - i) z^{2} - 2 i z - 4 = 0$

Jag började med att kvadratkomplettera, och sedan ansätta parantesen till x+iy.

${(z - \frac{i}{1 - i})}^{2} - {(\frac{i}{1 - i})}^{2} - \frac{4}{1 - i} = 0 {(z - \frac{i}{1 - i})}^{2} + \frac{i}{2} - \frac{4}{1 - i} = 0 {(z - \frac{i}{1 - i})}^{2} = \frac{4}{1 - i} - \frac{i}{2} (z - \frac{i}{1 - i}) = x + i y x^{2} - y^{2} + 2 x i y = \frac{- i}{2} + \frac{4}{1 - i} \{\begin{cases} 2 x y = - \frac{1}{2} \\ x^{2} - y^{2} = ? \end{cases}$

Men vad är x^2-y^2? 4an har ju ett " $i$ " i sin nämnare.

Pröva att förlänga termen $\frac{4}{1-i}$ med nämnarens komplexkonjugat så blir det trevligare i högerledet.

ah, det blev definitivt trevligare i högerledet!

$\frac{4 (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)} = 2 i + 2 2 i + 2 - \frac{i}{2} = 2 + \frac{3 i}{2} \{\begin{cases} 2 x y = \frac{3}{2} \\ x^{2} - y^{2} = 2 \end{cases} y = \frac{3}{4 x} x^{2} - {(\frac{3}{4 x})}^{2} = 2 \Leftrightarrow x^{2} - \frac{9}{16 x^{2}} = 2 32 x^{2} = 16 x^{4} - 9 16 x^{4} - 32 x^{2} - 9 = 0 t = x^{2}, 16 (t^{2} - 2 t - \frac{9}{16}) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{3}{2} x^{2} - y^{2} = 2 \Leftrightarrow y = \pm \frac{1}{2}$

Men gäller alla 4 röttern nu eller missar jag något?

Nej det är bara 2 rötter.

Sambandet $2xy=\frac{3}{2}$ knyter ihop möjligheterna enligt följande:

Om $x=\frac{3}{2}$ så gäller $y=\frac{1}{2}$
Om $x=-\frac{3}{2}$ så gäller $y=-\frac{1}{2}$

De andra två kombinationerna är inte aktuella.

ahh, precis! Om ena är negativ så hade $\frac{3}{2}$ varit tvunget att vara negativt.

$z - \frac{i}{1 - i} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i \Leftrightarrow z = 1 + i z - \frac{i}{1 - i} = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i \Leftrightarrow z = - 2$

Detta verkar stämma med wolfram. Tack så hemskt mycket för hjälpen Yngve!

Svara

Visa senaste svar