25 svar
205 visningar
Martin Berglund är nöjd med hjälpen!
Martin Berglund 36
Postad: 26 jul 2020

Komplexa tal, fastnat på fråga.

Frågan 

Påstående A

(2+3i)(5-3i)=(2+3i)(1)*(5-3i)(1)=10-6i+15i-9i2=10+9i-9i2

Påstående A anses därmed vara sann.

Svar: Sant

Påstående B

Svar: Sant

Påstående C

Svar: Sant

Påstående D

Svar: Falskt

Påstående E

Svar: Falskt

 

Mina svar dvs. att A, B, och C är sanna är inte korrekta, hur löser man uppgiften/vad har gjort fel/är det något jag inte tagit hänsyn till som ger upphov till fel?

Laguna Online 11728
Postad: 26 jul 2020

Du har inte gjort rätt på D. Du ska multiplicera talen och sen ta imaginärdelen. 

Martin Berglund 36
Postad: 26 jul 2020

På D får jag 

(2+3i)*(2-3i)= 4 - 6i + 6i -9i^2 = 4 - 9i^2 

4 - 9i^2 är inte lika med noll samt att imaginärdelen är -9i^2 och därmed är påstående D fortsatt falsk.

Martin Berglund 36
Postad: 26 jul 2020

Faktum kvarstår att ABC är fel kombination.

Laguna Online 11728
Postad: 26 jul 2020
Martin Berglund skrev:

På D får jag 

(2+3i)*(2-3i)= 4 - 6i + 6i -9i^2 = 4 - 9i^2 

4 - 9i^2 är inte lika med noll samt att imaginärdelen är -9i^2 och därmed är påstående D fortsatt falsk.

Vad är i2i^2?

Martin Berglund 36
Postad: 26 jul 2020

i^2 är kvadraten av imaginära enheten vilket har värdet -1.

Således blir Im(z*(z med streck ovanpå)) = 4 + 9 = 13 vilket inte är lika med 0 och D är fortsatt falsk.

Laguna Online 11728
Postad: 26 jul 2020
Martin Berglund skrev:

i^2 är kvadraten av imaginära enheten vilket har värdet -1.

Således blir Im(z*(z med streck ovanpå)) = 4 + 9 = 13 vilket inte är lika med 0 och D är fortsatt falsk.

Du går för fort fram. Själva produkten är 13. Vad är imaginärdelen av 13?

Martin Berglund 36
Postad: 26 jul 2020

Korrekt kombination är ABCDE, men varför är D och E sanna?

PATENTERAMERA 1767
Postad: 26 jul 2020

Några räkneregler som är bra att känna till

zz¯ = z2

z + z¯ = 2Re(z).

Övertyga dig om att detta stämmer.

Smaragdalena Online 45472 – Moderator
Postad: 26 jul 2020 Redigerad: 26 jul 2020
Martin Berglund skrev:

Korrekt kombination är ABCDE, men varför är D och E sanna?

D:

z·z ¯=(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi+b2i2=a2-b2+0i

Imaginärdelen är alltså 0.

 

 

E:

VL=(z-z0)(z-z0¯)=(a+bi-(A+Bi))(a+bi-(A-Bi))=

=((a-A-bi)+Bi)((a-A-bi)-Bi)=(a-A-bi)2-(Bi)2=

=(a-A-bi)2+B2 =((a-bi)-A)2+B2=(z-A)2+B2=z2-2Az+A2+B2=

=z2-2Az+A2+B22=z2-2Az+|z0|=HL

eftersom Re(z0)=A.

Happyeagle 26
Postad: 26 jul 2020

För del D: Ett godtyckligt komplext tal z kan skrivas z=a+ibdär a,b .

Vad blir då Im(z ·z¯)? I din lösning för påstående D räknade du ut att Im(z·z)=4-9i2=4+9=13=13+0·i.

Räkna ut z·z¯=(a+ib)(a-ib)och se om imaginärdelen är noll eller inte.  Att göra denna typ av beräkning med ett godtyckligt komplext tal kanske är mer besvärligt än att räkna med konkreta tal; fast om man genomför detta resonemang med z=a+ib och får Im(z·z)=0 så har vi verkligen bevisat att så är fallet. Självklart, om påståendet inte skulle stämma måste vi leta efter motexempel. 

Om E: Önskar vekligen att de hade skrivit (Re(z0))z eller Rez0.z istället för Re(z0)z, det hade varit mycket tydligare. Men om man hade menat att man skulle multiplicera ihop de båda komplexa talen först och beräkna realdelen efteråt, borde man ha skrivit Re(zz0). Detta begrep jag inte förrän jag misslyckades med att bevisa det om jag multiplicerade ihop först och tog raldelen av detta.

Jroth 1138
Postad: 27 jul 2020

Uppgift C blir tyvärr lite av en gissningslek kring hur mycket problemskaparen själv förstår och hur man ska tolka frågan.

Martin Berglund 36
Postad: 27 jul 2020

Tack så mycket för era lösningar!

Varifrån kommer uppgifterna?

Laguna Online 11728
Postad: 27 jul 2020

I A räknar du fel: nämnaren hamnar på något sätt som täljare i stället. 

Smaragdalena Online 45472 – Moderator
Postad: 27 jul 2020 Redigerad: 27 jul 2020

I A-uppgiften skulle jag förlänga med nämnarens konjugat för att få en reell nämnare, d v s med dina siffror 2+3i5-3i=2+3i5-3i·5+3i5+3i=(2+3i)(5+3i)(5-3i)(5+3i)=2·5+2·3i+5·3i+9i252-9i2=10+21i-925+9=134+2134i\frac{2+3i}{5-3i}=\frac{2+3i}{5-3i}\cdot\frac{5+3i}{5+3i}=\frac{(2+3i)(5+3i)}{(5-3i)(5+3i)}=\frac{2\cdot5+2\cdot3i+5\cdot3i+9i^2}{5^2-9i^2}=\frac{10+21i-9}{25+9}=\frac{1}{34}+\frac{21}{34}i. Detr blev alltså ett komplext tal.

Om du vill bevisa att det alltid är det, beräkna t ex (a+bi)/(A+Bi) och kolla hur det ser ut.

Laguna Online 11728
Postad: 27 jul 2020

Det är dessutom så att du inte kan bevisa påståendet med exempel. Man kan bara eventuellt motbevisa det genom ett motexempel.

JohanF Online 1702
Postad: 27 jul 2020

Jag kanske missuppfattar fråga A, men för att bevisa att det är sant måste man väl bevisa att det alltid är sant. Inte hitta ett exempel som det är sant för?

Jag skulle vilja säga att A inte är sant. Skriv två komplexa tal på polär form:

z1=r1eiθ1

z2=r2eiθ2

z1z2=r1r2ei(θ1-θ2)

Dvs kvoten blir ett reellt tal ifall θ1-θ2=0.

Definitionen på ett nollskillt komplext tal är kanske att talet ska ha både en reell och en imaginär del, vilket ställer lite ytterligare krav på θ1, θ2men det hindrar inte från att hitta exempel där påståendet A inte är uppfyllt.

Laguna Online 11728
Postad: 27 jul 2020
JohanF skrev:

Jag kanske missuppfattar fråga A, men för att bevisa att det är sant måste man väl bevisa att det alltid är sant. Inte hitta ett exempel som det är sant för?

Jag skulle vilja säga att A inte är sant. Skriv två komplexa tal på polär form:

z1=r1eiθ1

z2=r2eiθ2

z1z2=r1r2ei(θ1-θ2)

Dvs kvoten blir ett reellt tal ifall θ1-θ2=0.

Definitionen på ett nollskillt komplext tal är kanske att talet ska ha både en reell och en imaginär del, vilket ställer lite ytterligare krav på θ1, θ2men det hindrar inte från att hitta exempel där påståendet A inte är uppfyllt.

Alla reella tal tillhör mängden av komplexa tal. 

JohanF Online 1702
Postad: 27 jul 2020 Redigerad: 27 jul 2020
Laguna skrev:
JohanF skrev:

Jag kanske missuppfattar fråga A, men för att bevisa att det är sant måste man väl bevisa att det alltid är sant. Inte hitta ett exempel som det är sant för?

Jag skulle vilja säga att A inte är sant. Skriv två komplexa tal på polär form:

z1=r1eiθ1

z2=r2eiθ2

z1z2=r1r2ei(θ1-θ2)

Dvs kvoten blir ett reellt tal ifall θ1-θ2=0.

Definitionen på ett nollskillt komplext tal är kanske att talet ska ha både en reell och en imaginär del, vilket ställer lite ytterligare krav på θ1, θ2men det hindrar inte från att hitta exempel där påståendet A inte är uppfyllt.

Alla reella tal tillhör mängden av komplexa tal. 

Haha! Jag visste väl att jag inte riktigt förstod frågan. En slamkrypare. (Kan man tänka sig något bevis för påståendet) 

PATENTERAMERA 1767
Postad: 27 jul 2020

Det är väl egentligen en fråga om definition.

De komplexa talen skall ju utgöra en talkropp och måste därför per definition vara sluten under de vanliga aritmetiska operationerna - addition, multiplikation, additiv invers och multiplikativ invers.

De reella talen är isomorfa med en delkropp (imaginärdel = 0) till de komplexa talen och brukar därför identifieras med denna delkropp.

JohanF Online 1702
Postad: 27 jul 2020

Vad jag menade var, kan man tänka sig något annat bevis än att bara konstatera faktum om definitioner? Nu var det ju en kryssfråga där man inte behöver redovisa svaret, så man har ju ändå en bra chans att får rätt utan att kunna något. Men det känns som att för att vara i en lärobok för gymnasiet så tycker jag att det borde finnas något sätt att kunna resonera sig fram till rätt svar utifrån den kunskapsnivå om talmängder som en gymnasiestudent borde ha.

matsC 149
Postad: 28 jul 2020

Alla  z = x+iy år komplexa tal även om y råkar vara noll.

JohanF Online 1702
Postad: 28 jul 2020
matsC skrev:

Alla  z = x+iy år komplexa tal även om y råkar vara noll.

Jepp, men frågan blir lite goddag yxskaft slamkrypare.

Varför bemödar frågeställaren sig med att specificera att detta gäller för två ”nollskillda komplexa tal”? 

JohanF Online 1702
Postad: 28 jul 2020 Redigerad: 28 jul 2020

Samma fråga har skapat förvirring på pluggakuten förr...

https://www.pluggakuten.se/trad/komplexa-tal-och-konjugat/

Svara Avbryt
Close