Komplexa tal och des geometriska förståelse

Hej, skulle återigen behöva lite hjälp när det kommer till komplexa tal. Sitter och försöker lösa problem:

Bestäm alla komplexa tal för vilket $z + \frac{1}{z}$ är reellt. Jag börjar med att skriva om detta uttryck som $a + b i + \frac{1}{a + b i}$

och vidare förenkling av detta ger $a + \frac{a}{a^{2} + b^{2}} + b i - \frac{b i}{a^{2} + b^{2}}$

Eftersom det ska vara ett reellt tal måste $b i - \frac{b i}{a^{2} + b^{2}} = 0 d e t t a g e r a t t a^{2} + b^{2} = 1 D e t t a k a n b e s k r i v a s s o m e n c i r k e l m e d r a d i e 1 o c h m i t t p u n k t i (0, 0) d v s e n e n h e t s c i r k e l$

Funderade vidare och kom fram till att b=0 också är en lösning.

Här kommer dock problemet jag har. Hur ska jag kunna visualisera och förstå vad det är jag gör matematiskt. Att svaret skulle bli en enhetscirkel hade jag aldrig kunnat säga innan jag löste det algebraiskt och att jag kom på att b=0 är en lösning var rena slumpen. Har samma problem med ekvationer av absolutbelopp med svårare tal. Ofta är det 1/z som får det att helt snurra i hjärnan på mig.

Det är ofta ungefär omöjligt att visualisera komplexa tal, åtminstone när de är skrivna som en krånglig uppgift.

1/z är också svårt, men blir lättare när man förlänger med konjugatet, precis som du har gjort.

Jag kan inte ge något enkelt råd, mer än att man brukar komma fram till en ekvation för realdelen och en för imaginärdelen.

Dem får man lösa noga. Visst ser du väl att b * ( 1 - 1/(a^2+b^2) ) = 0 har en lösning b=0 ?

...och så får man använda polär representation ibland, och komma ihåg var man kan lägga till ett godtyckligt antal varv på argumenten...

Svara