Komplexa tal som uppfyller |z+u|=|z|+|u|

Uppgift:

Låt $z=1+3i$. Finns det något komplext tal u sådant att $|z+u|=\left|z\right|+\left|u\right|$?

Min lösning:

Låt $u=a+bi$. $z+u=(a+1)+(b+3)i$

$|z+u|=\sqrt{{(a+1)}^2+{(b+3)}^2}$, $\left|z\right|+\left|u\right|=\sqrt{10}+\sqrt{a^2+b^2}$

$\sqrt{{(a+1)}^2+{(b+3)}^2}=\sqrt{10}+\sqrt{a^2+b^2}$

${(a+1)}^2+{(b+3)}^2=10+2\sqrt{10}\sqrt{(a^2+b^2)}+a^2+b^2$

$a^2+2a+1+b^2+6b+9=10+2\sqrt{10(a^2+b^2)}+a^2+b^2$

$2a+6b=2\sqrt{10(a^2+b^2)}$

$a+3b=\sqrt{10(a^2+b^2)}$

$a^2+6ab+9b^2=10a^2+10b^2$

$9a^2-6ab+b^2=0$

${(3a-b)}^2=0$

$3a=b$

Om vi låter b=1 och a=3 får vi u=3+i.

Vilket ger $\left|4+4i\right|\ne \left|1+3i\right|+\left|3+i\right|$.

Vad har jag gjort fel?