komplexa tal z^4 lösning

Rita upp det i det komplexa talplanet.

Vad är v och varför ska cos(4v) vara 1?

Du kan lösa denna uppgift grafiskt om du vill.

Eftersom en rot är $z_1=1+i=\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})+i\cdot\sin(\frac{\pi}{4}))$ så är uppenbarligen $w=(z_1)^4=4(\cos(\pi)+i\cdot\sin(\pi))=-4$.

Markera därför talet $-4$ i det komplexa talplanet och hitta de komplexa tal $z_2$, $z_3$ och $z_4$ som, upphöjt till 4, blir lika med -4.

Alla dessa tal ligger utspridda på en cirkel runt origo med radie $\sqrt{2}$, men vad är deras argument $v$?

För dessa vinklar gäller att $4v=\pi+n\cdot2\pi$

Laguna skrev:

Rita upp det i det komplexa talplanet.

Vad är v och varför ska cos(4v) vara 1?

ehh ingen aning, tror jag tänkte att 1 var den reala delen men inser nu att man multiplicerar med r så det blir fel. 

Yngve skrev:

Markera därför talet −4-4 i det komplexa talplanet och hitta de komplexa tal z2z2, z3z3 och z4z4 som, upphöjt till 4, blir lika med -4.

Alla dessa tal ligger utspridda på en cirkel runt origo med radie $\sqrt{2}$, men vad är deras argument $v$?

För dessa vinklar gäller att $4v=\pi+n\cdot2\pi$

jag fattar inte vad hände härifrån, så du tänker att talet ligger runt origo med radie rot2 det finns väl då oändlig antal lösningar? Sedan finns det väl inga reella tal som kan bli upphöjda med 4 som blir negativa? 

Alla komplexa tal $z$ som ligger på en cirkel med radie $\sqrt{2}$ runt origo i det komplexa talplanet uppfyller villkoret att Abs($z^4$) = 4 eftersom $(\sqrt{2})^2=4$.

Du har rätt i att det finns oändligt många sådana komplexa tal $z$.

Men det är endast vissa av dem som har ett sådant argument (vinkel) att $z^4=-4$, nämligen de som uppfyller villkoret för $v$ jag angav.

Pröva själv genom att välja en godtycklig vinkel $v$ och multiplicera den med 4. Denna produkt ska då vara något av följande $\pi$, $3\pi$, $5\pi$, $7\pi$ o.s.v, annars hamnar vi inte vid -4 utan nägon annanstans på en cirkel med radie 4 runt origo.

Okej, fattar inte riktigt hur man skall lösa det grafiskt, men förstår nu algebraiskt, det är som du säger. 4v=π+n·2π då cosinus4v=-1 för att talet upphöjt till 4 skall vara -4. Det innebär med andra ord att vi får lösningarna 

π/4+n2π/4 inom intervallet 0<v<2π har vi då 4 styckna vinklar 

π/4, 3π/4,5π/4, 7π/4

sätter jag sedan in de i z^4 ekvationen får jag ut lösningarna, tror jag? 

1. Stämmer detta

2. Kan jag få en bild på vad du försöker säga, förstår inte hur jag skall rita

z⁴ = w.

Om z₁ är en lösning så måste även -z₁ vara en lösning. (-z₁)⁴ = (-1)⁴(z₁)⁴ = (z₁)⁴ = w.

Om z₁ är en lösning så måste iz₁vara en lösning. (iz₁)⁴ = i⁴(z₁)⁴ = (z₁)⁴ = w.

Således ges lösningarna till ekvationen av $\pm$z₁, $\pm$iz₁.