Komplexa talplanet

Det stämmer att |z-1| beskriver avståndet mellan det komplexa talet z och talet 1. Till exempel beskriver |z-1| = 4 alla komplexa tal z som ligger på en cirkel med medelpunkt i (1,0) och radie 4.

Det stämmer att |z+2| beskriver avståndet mellan det komplexa talet z och talet -2. Till exempel beskriver |z+2| = 5 alla komplexa tal z som ligger på en cirkel med medelpunkt i (-2,0) och radie 5.

==============

Ekvationen |z-1| = 2|z+2| har alltså lösningen "alla tal z som ligger dubbelt så långt från talet 1 som från talet -2".

I figuren: Alla z som är sådana att avståndet d₂ är dubbelt så stort som avståndet d₁.

Du kan resonera dig fram till lösningen eller så kan du ta fram den algebraiskt, till exempel genom att sätta z = a+bi och sedan lösa den ekvation som du då får.

Jag gjorde såhär. Men jag har fortfarande inte till något svar. 

$$\begin{gathered} Bra gjort! \\ Du kom fram till att \\ {y}^2=-x^2-6x-5 \\ Denna ekvation kan skrivas så \\ {y}^2+x^2+6x+5=0 \\ Vad tror du att denna ekvation för? \\ Kan du kvadratkoplettera och se? \end{gathered}$$

Bra början.

Du har

x²+6x = -y²-5

Kvadratkomplettera VL:

x²+6x+9 = -y²-5+9

(x+3)² = -y²+4

Kommer du vidare härifrån?

Jag har svårt att förstå kvadratkompletteringen. Hur kan man se att man ska göra kvadratkomplettering?

Yngve skrev:

Bra början.

Du har

x²+6x = -y²-5

Kvadratkomplettera VL:

x²+6x+9 = -y²-5+9

(x+3)² = -y²+4

Kommer du vidare härifrån?

Nej tyvärr. Jag fick $x= \sqrt{-y^{2_{+4 }}} -3$

$$\begin{gathered} {(x+3)}^2=-y^2+4 \iff \\ {(x+3)}^2+y^2=4 \\ Detta är en ekvation för en cirkel vars medelpunkt är (-3,0) och radien är \sqrt{4}=2 \end{gathered}$$