Komplexa talplanet: villkor (Matematik/Matte 4/Komplexa tal)

Det finns fler punkter!

sätt z = x + i*y och utveckla absolutbeloppen (efter kvadrering).

Annars kan det lösas rent grafiskt.

Dr. G skrev:
Det finns fler punkter!
sätt z = x + i*y och utveckla absolutbeloppen (efter kvadrering).
Annars kan det lösas rent grafiskt.

Hur kommer x+iy in i bilden? Jag hänger inte riktigt med.

Om vi sätter $z=x+iy$ , hur kan vi då skriva ekvationen $|z-2i|=|z-6i|$ ?

Att ha en variabel för realdelen och en för imaginärdelen kommer göra det mycket enklare att lösa.

Ett komplext tal z kan skrivas

z = x + i*y

där x och y är reella tal.

(Ett komplext tal på rektangulär form)

AlvinB skrev:
Om vi sätter $z=x+iy$ , hur kan vi då skriva ekvationen $|z-2i|=|z-6i|$ ?
Att ha en variabel för realdelen och en för imaginärdelen kommer göra det mycket enklare att lösa.

Menar du att z kan skrivas a+ bi dvs x+iy och då kan ju |z-2i| skrivas som|( a+bi)- (0+bi)| eller menar du att |z-2i|=|z-6i| kan skrivas som |(a+bi)- 2i| = |(a+bi)- 6i|

le chat skrev:
AlvinB skrev:
Om vi sätter $z=x+iy$ , hur kan vi då skriva ekvationen $|z-2i|=|z-6i|$ ?
Att ha en variabel för realdelen och en för imaginärdelen kommer göra det mycket enklare att lösa.
Menar du att z kan skrivas a+ bi dvs x+iy och då kan ju |z-2i| skrivas som|( a+bi)- (0+bi)| eller menar du att |z-2i|=|z-6i| kan skrivas som |(a+bi)- 2i| = |(a+bi)- 6i|

Det andra sättet, om du absolut vill använda andra variabler än de som AlvinB föreslog.

Smaragdalena skrev:
le chat skrev:
AlvinB skrev:
Om vi sätter $z=x+iy$ , hur kan vi då skriva ekvationen $|z-2i|=|z-6i|$ ?
Att ha en variabel för realdelen och en för imaginärdelen kommer göra det mycket enklare att lösa.
Menar du att z kan skrivas a+ bi dvs x+iy och då kan ju |z-2i| skrivas som|( a+bi)- (0+bi)| eller menar du att |z-2i|=|z-6i| kan skrivas som |(a+bi)- 2i| = |(a+bi)- 6i|
Det andra sättet, om du absolut vill använda andra variabler än de som AlvinB föreslog.

Jag kommer bara återigen fram till 4i eftersom variablerna tar ut varandra.

Visa hur du har räknat, så kan vi hjälpa dig att hitta var det har blivit fel. Vi som svarar här är bra på fysik, men usla på tankeläsning. Gissning: Du har inte använt dig av formeln för absolutbelopp för komplexa tal.

Hej!

Fixera en radie $r>0.$ Ekvationen $|z-ib|=r$ beskriver en cirkel med radie $r$ och centrum i det komplexa talet $ib$ .

Avståndet mellan de två komplexa talen $i2$ och $i6$ är lika med $4$ .

Om $0<><>$ så finns det inga komplexa tal som uppfyller de två ekvationerna $|z-i2|=r$ och $|z-i6|=r$ samtidigt.
Om $r=2$ så finns det ett enda komplexa tal som uppfyller de två ekvationerna $|z-i2|=r$ och $|z-i6|=r$ samtidigt.
Om $r>2$ så finns det två komplexa tal som uppfyller de två ekvationerna $|z-i2|=r$ och $|z-i6|=r$ samtidigt.

Ekvationen $|z-i2|=|z-i6|$ har alltså lika många lösningar som det finns reella tal $r\geq 2$ .

Det finns två rakt-på-sak-metoder att använda för att lösa denna uppgift.

1. "Grafisk" lösning.

Som jag förklarade i detta inlägg så gäller att $|z-z_1|$ är lika med avståndet mellan $z$ och $z1$ .

Ekvationen $|z-2i|=|z-6i|$ kan därför utläsas som "Avståndet mellan z och punkten 2i är lika långt som avståndet mellan z och punkten 6i".

Vi söker alltså efter alla de komplexa tal z som ligger lika långt från 2i som från 6i.

Rita det komplexa talplanet, markera punkterna 2i och 6i. Försök nu att hitta alla de punkter som ligger lika långt från dessa två punkter.

En självklar sådan punkt är den punkt som ligger mitt emellan 2i och 6i, dvs z = 4i.

Men det finns fler. Många fler. Många många fler.

De går att konstruera rent grafiskt som Dr. G skrev i trådens första svar. Du kan pröva dig fram. Markera lite olika punkter och bedöm om de uppfyller avståndsvillkoret. Förhoppningsvis kommer du rätt snabbt att hitta flera punkter som ligger lika långt från 2i som från 6i. Förhoppningsvis ser du också rätt snabbt att det finns ett mönster/samband för alla dessa punkter. Kan du hitta det sambandet? Då har du svaret på uppgiften.

--------------------

2. Algebraisk lösning.

Skriv z på rektangulär form, dvs z = a + bi.

Då kan ekvationen skrivas

$|a+bi-2i|=|a+bi-6i|$

Samla ihop imaginärdelarna:

$|a+(b-2)i|=|a+(b-6)i|$

Eftersom $|z|=\sqrt{(Re(z))^2+(Im(z))^2}$ så blir ekvationen

$\sqrt{a^2+(b-2)^2}=\sqrt{a^2+(b-6)^2}$

Kommer du vidare nu?

Jag kom fram till att B är 4.

Vad gäller den grafiska lösningen hänger jag inte riktigt med. Hur kan jag hitta de andra punkterna samtidigt som min origo är 2i eller 6i?

le chat skrev:
Jag kom fram till att B är 4.
Vad gäller den grafiska lösningen hänger jag inte riktigt med. Hur kan jag hitta de andra punkterna samtidigt som min origo är 2i eller 6i?

Algebraisk lösning: Snyggt! Det stämmer. Du har kommit fram till ett villkor på b som måste vara uppfyllt för att ekvationen ska stämma. Men du är inte klar ännu. Vad gäller för a då? Vilka giltiga värden/begränsningar finns på a?

Grafisk lösning: Du behöver inte tänka cirklar, tänk istället sträckor och avstånd. $|z-z_1|$ är ju lika med avståndet mellan $z$ och $z_1$ .

Har du prövat med några olika punkter $z$ och kontrollerat deras avstånd till $2i$ respektive $6i$ ? Om du har gjort det, vilka punkter har du prövat? Och hittade du någon/några som ligger lika långt från $2i$ som från $6i$ ? Om du inte har prövat, gör det!

OBS! Du behöver inte beräkna avståndet, du kan enkelt se om en punkt ligger närmare $2i$ än $6i$ (eller längre bort ifrån). Exempelvis kan du ju på en gång se att punkten $z=3+i$ ligger närmare $2i$ än $6i$ , eller hur?