13 svar
113 visningar
Alexandra06 89
Postad: 20 jan 14:34

Konens maximala volym

Hur löser man denna uppgift? Förstår inte varför det blir fel. Konens maximala volym är ju vid maxpunkten, alltså när andraderivatan blir > 0. Men fattar inte, får inte fram heller vad r blir exakt.

Såhär har jag gjort, r försvinner från min funktion sedan. 

Lasse Vegas 123
Postad: 20 jan 15:01

Jag ser att du har skrivit 18 istället för 81 när du bestämmer h mha Pythagoras sats.

Lasse Vegas 123
Postad: 20 jan 15:06

Sen är även deriveringen lite knasig. Du behöver använda både produktregeln och kedjeregeln när du deriverar. Produktregeln eftersom du har r^2 multiplicerat med sqrt(81 - r^2), och kedjeregeln eftersom sqrt(81 - r^2) är en sammansatt funktion. 

Lasse Vegas 123
Postad: 20 jan 15:09

Du skulle även kunna prova att lösa ut r ur Pythagoras sats och få volymen som en funktion av höjden.

Alexandra06 89
Postad: 20 jan 15:47

Vi har inte gått igenom kedjeregeln eller produktregeln men kollade upp de. Hur ska man använda de i detta fall? Försvinner rottecknet då när man multiplicerar r2(81-r2)? Men kedjeregeln förstår jag inte hur man ska tillämpa den, jag förstår inte faktiskt

Trinity2 Online 2181
Postad: 20 jan 15:52
Alexandra06 skrev:

Vi har inte gått igenom kedjeregeln eller produktregeln men kollade upp de. Hur ska man använda de i detta fall? Försvinner rottecknet då när man multiplicerar r2(81-r2)? Men kedjeregeln förstår jag inte hur man ska tillämpa den, jag förstår inte faktiskt

Vänd på det och uttryck volymen i h. Då blir det ett polynom som är enkelt att derivera.

Alexandra06 89
Postad: 20 jan 16:18

Jag hänger inte med, är det r-1/2 jag ska vända på?

Darth Vader 145
Postad: 20 jan 16:25
Alexandra06 skrev:

Jag hänger inte med, är det r-1/2 jag ska vända på?

Nej, Trinity2 syftade på att du ska släppa på rr ett tag och istället försöka få fram en ny funktion uttryckt i höjden hh av konen istället.

Darth Vader 145
Postad: 20 jan 16:48 Redigerad: 20 jan 16:48

Som en parentes vill även tillägga att uppgiften går att lösa med ren algebra:

Visa spoiler

https://en.wikipedia.org/wiki/QM-AM-GM-HM_inequalities

Trinity2 Online 2181
Postad: 20 jan 17:36
Darth Vader skrev:

Som en parentes vill även tillägga att uppgiften går att lösa med ren algebra:

Visa spoiler

https://en.wikipedia.org/wiki/QM-AM-GM-HM_inequalities

Den blev jag nyfiken på - vid tillf, har du lust att visa?

Darth Vader 145
Postad: 20 jan 18:58
Trinity2 skrev:
Darth Vader skrev:

Som en parentes vill även tillägga att uppgiften går att lösa med ren algebra:

Visa spoiler

https://en.wikipedia.org/wiki/QM-AM-GM-HM_inequalities

Den blev jag nyfiken på - vid tillf, har du lust att visa?

Med nöje!

Visa spoiler

Från GM-QM blir xyz3x2+y2+z23\sqrt[3]{xyz} \leq \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}}, vilket ger xyzx2+y2+z233/2xyz \leq \left( \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}\right)^{3/2}. Likhet sker om och endast om x=y=zx=y=z.

Volymen av konen är πr2381-r2\frac{\pi r^{2}}{3} \sqrt{81-r^{2}} vilket man i sin tur kan skriva som 

2π3·r2·r2·81-r22π3·r2/2+r2/2+(81-r2)33/2=54π 3.\displaystyle\frac{2 \pi}{3} \cdot \left(\frac{r}{\sqrt{2}} \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{81-r^{2}}\right) \leq \frac{2\pi}{3} \cdot \left( \frac{ r^{2}/2 + r^{2}/2 + (81-r^{2})}{3}\right)^{3/2} = 54 \pi  \sqrt{3}.

Likhet sker om och endast om r2=81-r2\frac{r}{\sqrt{2}} = \sqrt{81-r^{2}}, dvs. r=36r=3 \sqrt{6}. Maximum av volymen av konen är alltså 54π 354 \pi  \sqrt{3} när r=36r=3 \sqrt{6}QED

Trinity2 Online 2181
Postad: 20 jan 20:16
Darth Vader skrev:
Trinity2 skrev:
Darth Vader skrev:

Som en parentes vill även tillägga att uppgiften går att lösa med ren algebra:

Visa spoiler

https://en.wikipedia.org/wiki/QM-AM-GM-HM_inequalities

Den blev jag nyfiken på - vid tillf, har du lust att visa?

Med nöje!

Visa spoiler

Från GM-QM blir xyz3x2+y2+z23\sqrt[3]{xyz} \leq \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}}, vilket ger xyzx2+y2+z233/2xyz \leq \left( \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}\right)^{3/2}. Likhet sker om och endast om x=y=zx=y=z.

Volymen av konen är πr2381-r2\frac{\pi r^{2}}{3} \sqrt{81-r^{2}} vilket man i sin tur kan skriva som 

2π3·r2·r2·81-r22π3·r2/2+r2/2+(81-r2)33/2=54π 3.\displaystyle\frac{2 \pi}{3} \cdot \left(\frac{r}{\sqrt{2}} \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{81-r^{2}}\right) \leq \frac{2\pi}{3} \cdot \left( \frac{ r^{2}/2 + r^{2}/2 + (81-r^{2})}{3}\right)^{3/2} = 54 \pi  \sqrt{3}.

Likhet sker om och endast om r2=81-r2\frac{r}{\sqrt{2}} = \sqrt{81-r^{2}}, dvs. r=36r=3 \sqrt{6}. Maximum av volymen av konen är alltså 54π 354 \pi  \sqrt{3} när r=36r=3 \sqrt{6}QED

Mkt intressant. Finns det en metodik i detta att tillämpa på denna typ av volymproblem eller är konen speciellt gynnsam?

Darth Vader 145
Postad: 20 jan 20:39 Redigerad: 20 jan 21:30
Trinity2 skrev:
Darth Vader skrev:
Trinity2 skrev:
Darth Vader skrev:

Som en parentes vill även tillägga att uppgiften går att lösa med ren algebra:

Visa spoiler

https://en.wikipedia.org/wiki/QM-AM-GM-HM_inequalities

Den blev jag nyfiken på - vid tillf, har du lust att visa?

Med nöje!

Visa spoiler

Från GM-QM blir xyz3x2+y2+z23\sqrt[3]{xyz} \leq \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}}, vilket ger xyzx2+y2+z233/2xyz \leq \left( \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}\right)^{3/2}. Likhet sker om och endast om x=y=zx=y=z.

Volymen av konen är πr2381-r2\frac{\pi r^{2}}{3} \sqrt{81-r^{2}} vilket man i sin tur kan skriva som 

2π3·r2·r2·81-r22π3·r2/2+r2/2+(81-r2)33/2=54π 3.\displaystyle\frac{2 \pi}{3} \cdot \left(\frac{r}{\sqrt{2}} \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{81-r^{2}}\right) \leq \frac{2\pi}{3} \cdot \left( \frac{ r^{2}/2 + r^{2}/2 + (81-r^{2})}{3}\right)^{3/2} = 54 \pi  \sqrt{3}.

Likhet sker om och endast om r2=81-r2\frac{r}{\sqrt{2}} = \sqrt{81-r^{2}}, dvs. r=36r=3 \sqrt{6}. Maximum av volymen av konen är alltså 54π 354 \pi  \sqrt{3} när r=36r=3 \sqrt{6}QED

Mkt intressant. Finns det en metodik i detta att tillämpa på denna typ av volymproblem eller är konen speciellt gynnsam?

Jag skulle säga att HM-GM-AM-QM har tämligen breda tillämpningsområden, för att inte tala om mångsidiga, inte bara inom geometri. Skulle tippa på att den lär kunna användas i samband med kanske andra olikheter till de allra flesta optimeringsproblemen där ute... :P

Trinity2 Online 2181
Postad: 20 jan 21:44
Darth Vader skrev:
Trinity2 skrev:
Darth Vader skrev:
Trinity2 skrev:
Darth Vader skrev:

Som en parentes vill även tillägga att uppgiften går att lösa med ren algebra:

Visa spoiler

https://en.wikipedia.org/wiki/QM-AM-GM-HM_inequalities

Den blev jag nyfiken på - vid tillf, har du lust att visa?

Med nöje!

Visa spoiler

Från GM-QM blir xyz3x2+y2+z23\sqrt[3]{xyz} \leq \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}}, vilket ger xyzx2+y2+z233/2xyz \leq \left( \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}\right)^{3/2}. Likhet sker om och endast om x=y=zx=y=z.

Volymen av konen är πr2381-r2\frac{\pi r^{2}}{3} \sqrt{81-r^{2}} vilket man i sin tur kan skriva som 

2π3·r2·r2·81-r22π3·r2/2+r2/2+(81-r2)33/2=54π 3.\displaystyle\frac{2 \pi}{3} \cdot \left(\frac{r}{\sqrt{2}} \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{81-r^{2}}\right) \leq \frac{2\pi}{3} \cdot \left( \frac{ r^{2}/2 + r^{2}/2 + (81-r^{2})}{3}\right)^{3/2} = 54 \pi  \sqrt{3}.

Likhet sker om och endast om r2=81-r2\frac{r}{\sqrt{2}} = \sqrt{81-r^{2}}, dvs. r=36r=3 \sqrt{6}. Maximum av volymen av konen är alltså 54π 354 \pi  \sqrt{3} när r=36r=3 \sqrt{6}QED

Mkt intressant. Finns det en metodik i detta att tillämpa på denna typ av volymproblem eller är konen speciellt gynnsam?

Jag skulle säga att HM-GM-AM-QM har tämligen breda tillämpningsområden, för att inte tala om mångsidiga, inte bara inom geometri. Skulle tippa på att den lär kunna användas i samband med kanske andra olikheter till de allra flesta optimeringsproblemen där ute... :P

Märkligt detta ej ingår i Ma3(?)4(?)

Svara
Close