Konforma avbildningar bevis

Hej!

Jag försöker visa att om $f$ och $g$ är 2 konforma avbildningar, så är $f \circ g$ konform.

Jag utgick från definitionen att $f$ är konform om $\angle \left(x,y\right) = \angle \left(\mathrm{d}f_{p}(x), \mathrm{d}f_{p}(y)\right)$ , med p en punkt på ytan.

Jag kommer inte så långt, använder bara kedjeregeln och fastnar direkt (och använder att $p = g(q)$ ):

$\angle \left(\mathrm{d}\left(f \circ g\right)_{q}(x), \mathrm{d}\left(f \circ g\right)_{q}(y)\right) = \angle \left(\mathrm{d}f_{p} \circ \mathrm{d}g_{q}(x), \mathrm{d}f_{p} \circ \mathrm{d}g_{q}(y)\right)$ .

Hur kan jag fortsätta? Borde jag på nåt sätt försöka använda att konform avbildning $\iff \langle \mathrm{d}f_{p}(x), \mathrm{d}f_{p}(y) \rangle = \lambda (p)^{2} \dot \langle x, y \rangle$ för någon glatt positiv funktion $\lambda$ ?

Jag tror att jag kommit vidare, kommentarer på följande?

Eftersom $f$ är konform så gäller som tidigare nämnts att $\angle \left(\mathrm{d}f_{p}(x), \mathrm{d}f_{p}(y)\right) = \angle \left(x,y\right)$ . Så om vi låter $v=\mathrm{d}g_{q}(x)$ och $w=\mathrm{d}g_{q}(y)$ så får vi:

$\angle \left(\mathrm{d}f_{p} \circ \mathrm{d}g_{q}(x), \mathrm{d}f_{p} \circ \mathrm{d}g_{q}(y)\right) = \angle \left(\mathrm{d}f_{p}(v), \mathrm{d}f_{p}(w)\right) = \angle \left(v,w\right)=\angle \left(\mathrm{d}g_{q}(x), \mathrm{d}g_{q}(y)\right) = \angle \left(x,y\right)$ eftersom $f, g$ är konforma.

bump

Svara