kongruens

Hej!

Nej, så enkelt är det inte … Vi har att $a·a (mod n) \equiv a (mod n) ·a (mod n)$ men det är inte sant att $a (mod n) · a (mod m) \equiv a (mod m·n)$
Du kan tänka mer i riktningen att samma tal kan uttryckas på två olika sätt: resten vid delningen med 7 är 2, samtidigt som resten vid delningen med 10 är 3.

$x=7·q_1+2$ (1)

$x=10·q_2+3$ (2)

För att ta reda vad x är kongruent med mod 70, vi behöver besvara frågan: "Vad är resten vid delningen med 70?"
Vi kan gå vidare på samma sätt, dvs att skriva $x=70·q_3+r$. Det är r vi är ute efter.
Från (2) vi kan få fram att sista siffran i talet x är 3. Detta är nyttigt, för att vi kan tänka vidare från (1) och få fram att sista siffran i $7·q_1$ är då $3-2=1$.

Vad är då sista siffran på $q_1$? (Ledtråd: det finns en enda möjlighet) När du får reda på detta, kan du ta reda direkt på r ...

Kan du fortsätta härifrån?

som jag såg i boken så satte dom x=10a+7b

och sedan fick dom ekvationerna $$\begin{gathered} 2\equiv x\equiv 10a+7b\equiv 10a\left(mod 7\right), a=3 \\ 3\equiv x\equiv 10a+7b\equiv 7b\left(mod10\right), b=9 \end{gathered}$$

men jag förstår inte hur dom får fram a=3 och b=9

sedan sätter dom bara $x=10\times 3+7\times 9=93$och får då x=23(mod 70)

Hej!

Man har kommit fram till att $a=3$ genom att försöka ta reda på minsta talet så att när $10·a$ delas med 7 blir resten 2. 

Det enklaste är att prova sig fram: 

• $10·1=10$ delat med 7 ger resten 3 ($10=7·1+3$), dvs $10\not\equiv 2 (mod 7)$
• $10·2=20$ delat med 7 ger resten 6 ($20=7·2+6$), dvs $20 \not\equiv 2 (mod 7)$
• $10·3=30$ delat med 7 ger resten 2 ($30=7·4+2$), dvs $30\equiv 2(mod 7)$

Samma resonemang för hur man har kommit fram till $b=9$: 9 är minsta talet som gör att när man delar $7·b$ med 10 får man resten 3. $7·9=63\equiv 3 (mod 10)$.

Observera att 3 och 9 är inte de enda som uppfyller ovanstående, men dem är de minsta. 

3, 10, 17, 24, ... 3+7k alla uppfyller att $10·a \equiv 2 (mod 7)$

9, 19, 29, 39, ... 9+10j alla uppfyller att $7·b \equiv 3 (mod 10)$

Hjälpte det?