51 svar
2161 visningar
issiwissi är nöjd med hjälpen
issiwissi 32
Postad: 27 apr 2017 14:18

Konservburkar problem

Uppgiften vi ska lösa lyder så här: Du har av en förpackningsindustri fått i uppdrag att utforma en ny serie konservburkar. Ditt uppdrag är att hitta de proportioner på burkarna som gör att materialåtgången blir så liten som möjligt.

·         Anta att man kan skära ut alla delar till en cylinderformad konservburk utan att man gör några materialförluster. Bestäm förhållandet mellan höjden h och radien r till en cylinderformad konservburk som gör att materialåtgången blir så liten som möjligt.

·         Nu är det inte möjligt att skära ut topp och botten till konservburken utan att göra materialförluster. Anta därför att topp och botten skärs ut ur en kvadratisk skiva med sidlängden 2r. Bestäm förhållandet mellan höjden h och radien r som med detta antagande gör materialåtgången så liten som möjligt.

·         Ännu mindre materialspill får man om man skär ut topp och botten ur en skiva med formen av en regelbunden sexhörning. Bestäm förhållandet mellan höjden h och radien r som med detta antagande gör materialåtgången så liten som möjligt.

·         Bege dig till en livsmedelsaffär och kontrollmät förhållandet mellan höjd och radie för olika konservburkar. Vilka avvikelser finner du från dina beräkningar? Ge en rimlig förklaring till eventuella avvikelser mellan resultaten av dina beräkningar och de burkar du hittade i affären.

 

Vi har försökt att lösa ut den genom att lösa ut h ur volymformeln för en cylinder och sedan teckna ett uttryck för arean och sedan derivera areaformeln men vi kommer ingenstans. 

Bubo 2860
Postad: 27 apr 2017 14:34

Hej och välkommen hit.

Ni verkar ha börjat bra. Var har ni kört fast? Visa beräkningarna.

issiwissi 32
Postad: 27 apr 2017 14:37

V=pi*r^2*h
h=V/pi*r^2

A(r)=2*pi*r(h+r)=2*pi*r((V/pi*r^2)+r)=(2V+2*pi*r^2)/r

A'(r)=(6*pi*r^2-2V)/r^2

Längre än så har vi inte kommit. 

Bubo 2860
Postad: 27 apr 2017 14:47

Bra tänkt. Och vad gäller för den där derivatan när vi har minimal materielåtgång?

issiwissi 32
Postad: 27 apr 2017 14:49

Att vi ska sätta A'(r)=0? 

Bubo 2860
Postad: 27 apr 2017 14:54

Ja.

För små värden på r måste h vara stort, och då går det åt mycket plåt.
Materielåtgången minskar när r ökar, dvs V'(r) är negativ.

För stora värden på r måste h vara litet, och då går det åt mycket plåt.
Materielåtgången ökar när r ökar, dvs V'(r) är positiv.

 

Du skrev A(r)= ... =(2V+2*pi*r^2)/r

Skriv det som 2V*(1/r)  +  2*pi*r  i stället, så kommer du nog att derivera rätt.

issiwissi 32
Postad: 27 apr 2017 15:09

Då får vi A'(r)=-2V*(1/r^2)+2*pi

Sätter vi sedan A'(r)=0 får vi att r=(2V/2*pi)^(1/2)

Hur kommer vi vidare här ifrån?

Bubo 2860
Postad: 27 apr 2017 15:21

Då är det dags att komma ihåg vad själva frågan är... :-)

issiwissi 32
Postad: 27 apr 2017 15:24

Ja, men nu har vi bara ett samband mellan volymen och radien, det är inte det vi söker. Sätter vi V=pi*r^2*h och försöker lösa ut ett samband divideras bara r^2 bort. 

Bubo 2860
Postad: 27 apr 2017 15:33

Kan du förklara i egna ord vad uppgiften är?

issiwissi 32
Postad: 27 apr 2017 15:35

Vi ska hitta ett förhållande mellan höjden och radien på en konservburk när materialåtgången är som minst.

Bubo 2860
Postad: 27 apr 2017 15:36

Just det. Du har räknat fram allt som behövs. Titta på dina egna beräkningar igen.

issiwissi 32
Postad: 27 apr 2017 15:37

Vi har gått igenom dem båda två, men vet inte vad vi ska göra. Det står helt still. 

Bubo 2860
Postad: 27 apr 2017 15:48 Redigerad: 27 apr 2017 15:49

Vad är r? Det har du redan räknat ut.

Vad är h? Det har du redan räknat ut.

issiwissi 32
Postad: 27 apr 2017 16:12

Du menar att vi ska sätta in h=V/pi*r^2 i r=(2V/2*pi)^(1/2) eller tvärtom. Men då får vi ett förhållande mellan volymen och höjden. Och nu har vi bara två separata formler som inte säger oss något. Är det svårare än du påstår eller är det bara vi som är helt blinda för detta? Haha

Bubo 2860
Postad: 27 apr 2017 16:20

Du ska beräkna förhållandet mellan höjden och radien.

Du ska beräkna h/r.

issiwissi 32
Postad: 27 apr 2017 16:52

Så klart! Vi har tänkt att vi måste ha h=r hela tiden. Tack så mycket! Nu får vi se om vi lyckas lösa resten av uppgiften!

mattekalle 223
Postad: 27 apr 2017 22:51

Det är fel i A(r) formeln  sista steget där det står inom parentes 2V+2*pi*r^2. V har ju dimensionen längd^3 medan r^2 har dimensionen längd^2.
A(r)=2*pi*r(h+r)=2*pi*r((V/pi*r^2)+r)=(2V+2*pi*r^2)/r

Rätta till detta innan derivering!

Bubo 2860
Postad: 28 apr 2017 08:38

Det är väl rättat efter mitt tredje inlägg?

mattekalle 223
Postad: 28 apr 2017 18:33

Nej om du menar 2V*(1/r)  +  2*pi*r så är det fel även där. Det ser man som sagt med en enkel dimensions kontroll. Det
första(2V*(1/r) som är rätt) har som sagt dimensionen längd^2 och det sista (2*pi*r som är felaktigt) har dimensionen längd.
Rätta till detta innan derivering.

Bubo 2860
Postad: 29 apr 2017 21:37

Just det - tack!

Ibland läser jag vad jag vill se, inte vad det egentligen står...

issiwissi 32
Postad: 3 maj 2017 14:38

Jag hänger inte alls med. Var har det blivit fel och hur rättar vi felet?

issiwissi 32
Postad: 3 maj 2017 15:37

Vi får h/r till V/(r^4*pi).. det är ju inget förhållande mellan h och r. 

mattekalle 223
Postad: 3 maj 2017 19:29

Det är fel vid röda pilen.

issiwissi 32
Postad: 3 maj 2017 21:40

Förstår inte. Har räknat om det men kommer fram till samma svar sak som du säger är fel. 

mattekalle 223
Postad: 3 maj 2017 21:53

Tänk på att du har en division med r som gäller för hela din parentes.  Skriv också gärna om det till två uttryck utan gemensam nämnare. Men som sagt rätta till detta innan derivering.

Bubo 2860
Postad: 3 maj 2017 21:54

V=pi*r^2*h  Just det. Basytan pi*r^2 gånger höjden h
h=V/pi*r^2   Nja, nästan rätt här också. Du menar V/(pi*r^2). Parentesen är viktig

A(r)=2*pi*r(h+r) Ja, det är rätt.

 

2*pi*r((V/(pi*r^2))+r)  Ja, det fetmarkerade är ju lika med h.

2*pi*r((V/(pi*r^2))+r)= nästa steg blir fel...

2*pi*r((V/pi*r^2)+r)=   2*pi*r gånger (V/(pi*r^2))   plus   2*pi*r*(r)

issiwissi 32
Postad: 3 maj 2017 22:14

Ja och då får jag (2*pi*r*V)/(pi*r^2)+(2*pi*r^2)

Multiplicerar det sista med pi*r^2 för att kunna skriva ihop det och får:

(2*pi*r*V+2*pi^2*r^4)/(pi*r^2)

Bryter ut pi*r och får:

((pi*r)(2*V+2*pi*r^3))/(pi^r^2)

Förkortar och får:

(2*V+2*pi*r^3)/r

Deriverar och får:

(6*pi*r^2*r - 1*(2V+2*pi*r^3))/r^2 = (6*pi*r^3 - 2V - 2*pi*r^3)/r^2 = (4*pi*r^3 - 2V)/r^2

mattekalle 223
Postad: 3 maj 2017 22:27

Rätt!  Fortsätt nu för att få förhållandet h/r.

issiwissi 32
Postad: 3 maj 2017 22:49

Så om vi sätter derivatan = 0 och löser ut r får vi:

r = (2V/(4*pi))^(1/3) = (V/(2*pi))^(1/3)

h/r = (V/(pi*r^2))/(V/(2*pi))^(1/3) = (V/(pi*r^2))*(((2*pi)^(1/3))/(V^(1/3)) = (V*((2*pi)^(1/3)))/(pi*r^2*((V^(1/3)))

Hur förenklar jag det vidare?

mattekalle 223
Postad: 3 maj 2017 22:58

Du krånglar till det. Derivatan är noll om
4*pi*r^3 - 2V =0. Detta innebär att
2*r=V/(pi*r^2). Det sista uttrycket är lika med h. 

issiwissi 32
Postad: 3 maj 2017 23:05

Nu hänger inte jag med mer. Derivatan är väl noll om

(4*pi*r^3-2V)/r^2= 0 ?

Och var får du 2*r=V/(pi*r^2) ifrån?

mattekalle 223
Postad: 3 maj 2017 23:10

4*pi*r^3-2V = 0 ger
4*pi*r^3=2V dividera båda led med 2*pi*r^2. 

issiwissi 32
Postad: 3 maj 2017 23:13

Okej, jag ser vad du gör men förstår inte varför. 

mattekalle 223
Postad: 3 maj 2017 23:17

Vi får vänster led till
2*r
Vi får höger led till
V/(pi*r^2) vilket är lika med h
Alltså:

2r=h

issiwissi 32
Postad: 3 maj 2017 23:23

Ja, jag förstår hur du löser ut det sista nu men förstår inte var du får att du ska dela båda leden med 2*pi*r^2 ifrån. Du måste ju få det någonstans ifrån. Finns ingen vits med att göra matte om man inte förstår varför man gör som man gör, haha. 

mattekalle 223
Postad: 3 maj 2017 23:31

Den divisionen gör jag bara för att få fram ett uttryck som jag kan identifiera som h. Du kan ju lika gärna sätta in att
V=h*pi*r^2 och fortsätta där.

issiwissi 32
Postad: 3 maj 2017 23:35

Jaha! Tack så mycket! Nu får vi bara hoppas att vi lyckas lösa ut de resterande delarna av uppgiften.

issiwissi 32
Postad: 4 maj 2017 13:01

Detta är till punkt 2, alltså när man ska räkna ut topp och botten från en kvadrat med sidan 2r. Är det rätt? Hur förenklar vi det sista till ett godtyckligt svar?

mattekalle 223
Postad: 4 maj 2017 14:45 Redigerad: 4 maj 2017 14:46

Det har blivit fel i  början här:
4·r2-π·r2 är fel
Om man tittar på vad det innebär så är det den blå ytan som verkar vara resultat av subtraktionen. Varför?
Ändra detta innan derivering.

issiwissi 32
Postad: 4 maj 2017 14:48

Vi måste ha cirkelns area, men hur får vi fram det då? Fattar inte. 

mattekalle 223
Postad: 4 maj 2017 15:02

Varför behöver ni cirkelns area? Det går ju åt mera plåt nu med kvadratiska plåtbitar. Däremot är det bra att veta cirkelns radie för att ta med den i 2·π·r·h formeln och för volymen
1. Hur mycket plåt kommer att gå åt för botten och topp yta tillsammans?
2. Hur mycket plåt kommer att gå åt för sidoytan
3. Lägg ihop dessa för att få totala ytan

Sedan är det bara att derivera.

issiwissi 32
Postad: 4 maj 2017 15:04

Menar du att vi ska räkna så som vi gjorde på första delen men att vi ska räkna som ett rätblock? Och sen ta rätblockets area - en cylinders? Vi ska ju räkna förhållandet mellan r och h när topp och botten skärs ut av en kvadrat för då blir materialspillningen mindre. 

mattekalle 223
Postad: 4 maj 2017 16:15

Ja i första försöket så var det inget spill alls för att få den tilltänkta konservburken. Nu tillkommer lite spill i och med att vi kan bara använda en kvadratisk plåtbit som startmaterial dvs vi får kassera de blå bitarna enligt bilden jag skickade innan. Så en approach här är alltså att ni tar eran ursprungliga (botten+topp) area och lägger till 2*spillytan som ni hade räknat fram. Då får ni också rätt ekvation på (botten+topp) arean fast lite omständligt.

issiwissi 32
Postad: 4 maj 2017 16:42

Hur löser man den utan att det blir omständigt då? Har kämpst med denna i en vecka nu och har examination på den imorgon så då hade det varit bra om jag hade förstått men just nu gör jag inte det. 

mattekalle 223
Postad: 4 maj 2017 19:20

Ja du får alltså använda hela kvadratens yta istället för cirkelns yta i areakalkylen. I övrigt är tillvägagångssättet detsamma. Sedan samma formel för sidoytan. Sedan summera och derivera fram resultatet.

mattekalle 223
Postad: 6 maj 2017 16:37

Sammanfattning på konservburksproblemet:
Sätt konservburkens radie till r och höjden till h.


Volymen V ärV=π·r2·h detta gerh=Vπ·r2 

Arean = bottenytan + toppytan+ mantelytan
1) För fallet med cirkelrund plåt utan spill fås arean

A=π·r2+π·r2 +2·π·r·h = 2·π·r2+2·π·r·h sätt in h enligt ovanA(r)=2·π·r2+2·π·r·Vπ·r2=2·π·r2+2·Vr

derivera
A'(r)=A'(r)=4·π·r-2·Vr2
sätt derivatan till noll då fås
4·π·r=2·Vr2
sätt in värdet av V då fås
4·π·r=2·π·r2·hr2=2·π·h
och vi får
hr=2

2) För fallet med kvadratisk plåt fås arean
A=2·r2+2·r2+2·π·r·h
sätt in värdet för h då fås
A(r)=8·r2+2·Vr

derivera
A'(r)=16·r-2·Vr2
sätt derivatan till noll då fås
16·r=2·Vr2

sätt in V enligt ovan då fås

16·r=2·π·hochhr=162·π2,55

2) För fallet med sexkantig plåt fås arean


A=6·r2·tanα2 +6·r2·tanα2 +2·π·r·h
α=360°6
tan(30°)=13 och insättning av h värdet enligt ovan ger

A(r)=2·63·r2+2·Vr=12·r23+2·Vr

derivering ger


A'(r)=24·r3-2·Vr2

sätt derivatan till noll och sätt in V och vi får

24·r3=2·π·h

detta ger

hr=12π·32,21

Allmänt för regelbunden n-sidig polygon som har en inskriven cirkel med radien r fås:

Apolygon=n·r2·tan180°n=r2·k där k=n·tan180°n

Så i våran konservburk får vi:

A(r)=2·r2·k+2·Vr

derivera
A'(r)=4·k·r-2·Vr2

sätt derivatan till noll och sätt in värdet på V och vi får


4·k·r=2·π·hhr=4·k2·πhr=2π·n·tan180°n

Lite exempel

n=3 ger  hr3,31

n=4 ger  hr2,55

n=6 ger hr2,21

n=40 ger hr2,00

Vi ser att 40 sidingen ger ett resultat som börjar närma sig cirkeln ( dvs plåten utan spill) 

sandy99 40
Postad: 16 apr 2018 15:35

Hej, jag håller på med samma uppgift och undrar varför man ska derivera? Tack på förhand!

Yngve Online 22730 – Live-hjälpare
Postad: 16 apr 2018 17:48 Redigerad: 16 apr 2018 17:50
sandy99 skrev :

Hej, jag håller på med samma uppgift och undrar varför man ska derivera? Tack på förhand!

Uppgiften går ut på att hitta ett förhållande mellan burkens höjd och radie som ger minimal materialåtgång vid en given volym, dvs hitta det förhållande mellan h och r där konservburkens area blir så liten som möjligt.

Du har tagit fram en funktion A(r) som beskriver hur arean A beror på r vid en given volym V.

För att hitta det minsta värdet på funktionen A(r) så använder vi standardmetoden för att hitta extrempunkterna, nämligen att derivera funktionen och lösa ekvationen A'(r) = 0.

Smaragdalena 57479 – Lärare
Postad: 16 apr 2018 17:49

Välkommen till Pluggakuten!

Kort svar: För att kunna minimera materialåtgången.

Vill du ha ett längre svar, så starta en ny tråd och visa hur långt du har kommit. /moderator

sandy99 40
Postad: 20 apr 2018 11:55

Vet inte om jag bör göra en ny tråd, men tänkte bara höra hur arean på en hexagon/sexhörning beräknas i steg 3? Det andra är jag med på men just area-delen får jag inte till.. 

Smaragdalena 57479 – Lärare
Postad: 20 apr 2018 12:04

Gör en ny tråd om det /moderator

Svara Avbryt
Close