kontinuerlig funktion lösnings hjälp

Visa hur du har fösökt och hur långt du kommit i så fall.

Poängen är att hitta en ekvation som beskriver relationen mellan alla a,b som uppfyller villkoren i a) och b) och skulle kunna vara något i stil med 3a + 2b = 1 eller ab = 2 bara så att vi är klara på vad vi är ute efter.

a) Villkoret här är att de två styckena ska 'sitta ihop' vilket alltså kräver att de två delfunktionerna (vänster / höger) ska ha samma värde i $\pi$  något som kan ge oss en ekvation, ett villkor, för a och b. 

Jag satt sin (2pi) = api + b löser sen ut a och b. I boken ser det ut som att man ska motivera det med limits i stilen med $\underset{x\to c}{\lim }f\left(g\right(x\left)\right)= f\left(g\right(c\left)\right)$Är jag på rätt spår eller helt fel ute?

markus117 skrev:

Jag satt sin (2pi) = api + b löser sen ut a och b. I boken ser det ut som att man ska motivera det med limits i stilen med $\underset{x\to c}{\lim }f\left(g\right(x\left)\right)= f\left(g\right(c\left)\right)$Är jag på rätt spår eller helt fel ute?

Är det alltså bara motiveringen (motivation är nåt annat) som saknas? Vad fick du för värden på a och b?

$$\begin{gathered} a\pi +b=\sin \left(2\pi \right) \\ \sin \left(2\pi \right)=2\cos \left(\pi \right)*\sin \left(\pi \right) \\ \sin \left(2\pi \right)=2*(-1)*0 \\ a\pi +b=2*(-1)*0=0 \\ a\pi +b=0 \\ a\pi =-b \\ \frac{a\pi }{\pi }=\frac{-b}{\pi } \\ a=-\frac{b}{\pi } \\ b=-a\pi \end{gathered}$$

Detta får jag a och b till men hur ska jag nu använda det för att få fram det dom frågar efter?

Är svaret $-\frac{b}{a}=\pi$?

För deluppgift a så är det svaret. Du får formulera det så att a = 0 också kommer med.

Du menar att jag ska ha det på detta format?

$a+\frac{b}{\pi }=0$

markus117 skrev:

Du menar att jag ska ha det på detta format?

$a+\frac{b}{\pi }=0$

Det borde kunna vara godkänt, tycker jag.

Svara med en funktion uttryckt i a enbart, då du behöver det för b)-uppgiften.

g(x) = a(x-π) (dvs. b=–aπ)

Hej!

För att funktionen $g$ ska vara kontinuerlig överallt måste den vara kontinuerlig i punkten $x=\pi$, vilket betyder att högergränsvärdet $\lim_{x\downarrow \pi}(ax+b)$ måste vara lika med vänstergränsvärdet $\lim_{x\uparrow\pi}\sin 2x$.

    $\displaystyle \pi a + b = 0$.

För att funktionen $g$ ska vara deriverbar överallt måste den vara deriverbar i punkten $x=\pi$, vilket betyder att högergränsvärdet $\lim_{x\downarrow\pi}\frac{(ax+b)-\sin 2\pi}{x-\pi}$ måste vara lika med vänstergränsvärdet $\lim_{x\uparrow\pi}\frac{\sin 2x-\sin 2\pi}{x-\pi}.$

    $\displaystyle\lim_{x\downarrow\pi} \frac{ax+b}{x-\pi} = -2.$

Kontinuitetskravet ger $b=-\pi a$ och insatt i deriverbarhetskravet bestäms koefficienten $a = -2.$

    $\displaystyle -2 = \lim_{x\downarrow\pi} \frac{ax-a\pi}{x-\pi}= a.$

Funktionen $g$ är deriverbar överallt (och därmed även kontinuerlig överallt) precis då $a = -2$ och $b = 2\pi$.

Albiki skrev:

Kontinuitetskravet ger $b=-\pi a$ och insatt i deriverbarhetskravet bestäms koefficienten $a = -2.$

    $\displaystyle -2 = \lim_{x\downarrow\pi} \frac{ax-a\pi}{x-\pi}= a.$

Funktionen $g$ är deriverbar överallt (och därmed även kontinuerlig överallt) precis då $a = -2$ och $b = 2\pi$.

y=ax+b med $a = -2$ och $b = 2\pi$ har fel lutning. Se mina räkningar ovan.

Trinity skrev:

Albiki skrev:

Kontinuitetskravet ger $b=-\pi a$ och insatt i deriverbarhetskravet bestäms koefficienten $a = -2.$

    $\displaystyle -2 = \lim_{x\downarrow\pi} \frac{ax-a\pi}{x-\pi}= a.$

Funktionen $g$ är deriverbar överallt (och därmed även kontinuerlig överallt) precis då $a = -2$ och $b = 2\pi$.

y=ax+b med $a = -2$ och $b = 2\pi$ ligger långt ifrån sin(2x) i x=π, och har fel lutning. Se mina räkningar ovan.

 Jag kan förstås ha fel (det har hänt många gånger förut) men $y(x)=2\pi - 2x$ ger $y(\pi) = 2\pi - 2\pi = 0$ och $\sin 2\pi = 0.$