Kontinuerliga funktioner

Funktionen antar oändligt positiva värden på vänstersidan av $x=2$ och oändligt negativa värden på högersidan.

Tänk på att $\tan(\frac{\pi}{2})$ är odefinierad. Dessutom är $\tan(x)$ periodisk.

Men jag förstår inte hur man får för sig att undersöka punkten x=2?

I punkten $x=2$ är

$\displaystyle \tan(\frac{\pi x}{4})=\tan(\frac{\pi}{2})$ <-- Odefinierad!

Du hittar de punkter du vill undersöka genom att svara på på frågan "Ingår några punkter där tangensfunktionen är odefinierad?" dvs där argumentet är $\pi/2+n\pi$?

Det leder till ekvationen

$\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi=\frac{\pi x}{4}$

$x=2+4n$

Okej nu förstår jag, men funktionen borde väl inte heller vara kontinuerlig i punkten x = 1, detta enligt mina beräkningar som jag bifogat bild på?

Tangensfunktionen går bara mot 1 i $x=1$ men högergränsvärdet för din andra faktor är

$\displaystyle \lim_{x\to 1^+} \frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to 1^+} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^+} \frac{(x+1)}{1}=2$

Faktum är att gränsvärdet blir 2 även från vänster, alltså är

$\displaystyle f(1^+)=f(1^-)=2$

Är du med?

I din egen beräkning av gränsvärdet i 1 använder du l'Hopital vilket inte är fel i sig men du beräknar täljarens derivata fel.