Kontinuerliga funktioner

Låt i och j vara sådana att det gäller att

$f\left(c_i\right)\le f\left(c_k\right)\le f\left(c_j\right)$

för alla k = 1, 2, ..., n. Visa sen att det gäller att

$f\left(c_i\right)\le \frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(c_k\right)\le f\left(c_j\right)$

Kan du dra någon slutsats från detta?

Att f(ci) är begränsad. funderade om det går att lösa genom att anta att följden är obegränsad genom att dela upp den i en delföljd {$x_{k_n}$} och sedan visa att denna går mot ett $x_0$ tillhörande intervallet [a,b] sedan eftersom f är kontinuerlig på intervallet leder det till att $\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(x_{k_n}\right)=f\left(x_0\right)$

Detta är ju inte möjligt eftersom $\left|f\left(x_{k_n}\right)\right|>k_n för att \underset{n\to \infty }{\lim }\left|f\left(x_{k_n}\right)\right|=\infty$

Sedan söker jag supremum M och infimum m

Nej det där låter inte rimligt. Utan tänk på att du har ett ändligt antal konstanter $c_k$, det måste då finnas ett $c_i$ och $c_j$ på det sätter jag beskrev. Du har inte ett oändligt antal så du kan inte hålla på med massor med gränsvärden och liknande.

Om du visar att medelvärdet ligger mellan $f(c_i)$ och $f(c_j)$ så kan du sedan använda satsen om mellanliggande värden för att komma fram till det du ska bevisa.

Ja, jag förstod nu vad som skall göras! Tack så mycket!