Kontinuitet

Låt

$\epsilon =\left|f\right(0)/2|$

Då vet du att det existerar ett $\delta$ sådant att

$\left|x\right| < \delta \Rightarrow \left|f\right(x)\hspace{0.17em}- f(0\left)\right| < \left|f\right(0)/2|$

Nu får man att

$$\begin{gathered} \left|f\right(0)/2| =\hspace{0.17em}\left|f\right(0)/2 - f(x)/2 + f(x)/2| \le \left|f\right(0)-f(x\left)\right|/2 + \left|f\right(x\left)\right|/2<\left|f\right(0\left)\right|/4 + \left|f\right(x\left)\right|/2 \Rightarrow \\ \left|f\right(0)/2| < \left|f\right(x\left)\right| \end{gathered}$$

Hur visste du vad epsilon skulle vara? Ärligt talat så förstår jag inte särskilt mycket. Har du tid att förklara litet närmare? 

Eller vänta litet. Kan man alltså välja epsilon hursomhelst (så länge det är större än noll)?

I den rena algebran använde du dig sedan av triangelolikheten, eller hur? I nästa steg använde du dig av antagandet i början, eller hur? Då följer resultatet.

Så det m man söker är alltså $\frac{1}{2}\left|f\left(0\right)\right|$? Jag förstår själva uträkningen, men inte vad jag håller på med i grunden. Allt känns väldigt teoretiskt...

Ja vi kan välja $\epsilon$ hur vi vill. I definitionen så har vi ju att oavsett hur vi väljer $\epsilon$ så kommer det finnas ett $\delta$, vilket alltså innebär att om vi väljer $\epsilon$ som $|f(0)|/2$ så finns det ett $\delta$.

I rena algebran så använder jag först triangelolikheten och sedan det i början, men det i början är inte riktigt ett antagande, vi vet ju att det är så eftersom vi vet att $f$ är kontinuerlig i $0$.

I detta fall så har vi alltså att m är $|f(0)|/2$, men man skulle kunna bevisa det för något annat m också, det blir bara smidigt att just välja $|f(0)|/2$ i detta fall.

Det är faktiskt inte så farligt teoretiskt, vi vet ju att $f(0) \neq 0$ och att $f$ är kontinuerlig i 0. Vi vill då visa att det finns ett intervall $(-\delta, \delta)$ sådant att $f$ ligger en bit ifrån 0 i detta intervall. Eftersom f är kontinuerlig i 0 så vet vi ju att det måste finnas ett intervall där det ligger nära $f(0)$.

Så vi har situationen att vi vill visa att f ligger bortom 0 när vi vet att den ligger nära f(0). Så för att få ett intervall där den ligger nära f(0) så väljer vi en begränsning på detta avstånd genom att välja $\epsilon$ och här blir det då helt naturlig att välja denna begränsning som $|f(0)|/2$. Så då vet vi att vi har ett intervall $(-\delta, \delta)$ där f ligger närmare $f(0)$ än $|f(0)|/2$ och här tror jag att du inser att då måste avståndet till 0 vara mer än $|f(0)|/2$ och det enda vi behöver göra är att bevisa att så är fallet.

Hej Korvgubben! 

Du vill visa att en funktion som är kontinuerlig i $x=0$ och $f(0)\neq0$ också håller sig borta från 0 i en omgivning av $x=0$.

Triangelolikheten ger

$|f(0)| \leq |f(x)-f(0)| + |f(x)|$

vilket är samma sak som

$|f(0)| - |f(x)-f(0)| \leq |f(x)|.$

Eftersom $f$ är kontinuerlig i $x=0$ så går det att få $|f(x)-f(0)|$ mindre än det positiva talet $|f(0)|\3,$ om du bara ser till att $x$ är tillräckligt nära 0, det vill säga $|x-0|<\delta_3$, där det positiva talet $\delta_3$ avgör vad som är tillräckligt nära; jag vet inte hur $\delta_3$ ser ut eftersom jag inte vet hur funktionen $f$ ser ut, men det behöver jag inte heller veta. Det enda som spelar roll är att $\delta_3$ existerar. 

Triangelolikheten har alltså givit resultatet

    $(2/3)|f(0)| < |f(x)| .$

Jag valde 1/3 med flit istället för 1/2 som Stokastisk gjort för att visa på valmöjligheterna kring valet av $\epsilon.$

Albiki

Tack för klargörandet! 😁