Kontinuitet

Att lim x -> 0 f(x) existerar betyder att gränsvärdet skall ha samma värde när men närmar sig 0 från vänster och från höger. Kommer du vidare?

Det ska stå (e^ax-1)/x, eller hur?

Smaragdalena skrev:

Att lim x -> 0 f(x) existerar betyder att gränsvärdet skall ha samma värde när men närmar sig 0 från vänster och från höger. Kommer du vidare?

 Ska jag lösa ut vad som händer i ena ekvationen (t.ex när arctan närmar sig 0), sen sätta det = med det andra? 

Laguna skrev:

Det ska stå (e^ax-1)/x, eller hur?

 Ja. Jag som slarvar.

Just nu är funktionen $f$ odefinierad för $x=0$. Du ska hitta ett värde för $f(0)$ som gör att funktionen blir kontinuerlig i punkten, d.v.s. $f(0)$ är lika med höger- och vänstergränsvärdet när $x\to0$ för $f(x)$.

Schnehest skrev:

Smaragdalena skrev:

Att lim x -> 0 f(x) existerar betyder att gränsvärdet skall ha samma värde när men närmar sig 0 från vänster och från höger. Kommer du vidare?

 Ska jag lösa ut vad som händer i ena ekvationen (t.ex när arctan närmar sig 0), sen sätta det = med det andra? 

Ja, ungefär. Bestäm gränsvärdet för x>0. Det blir nåt tal. Sedan bestämmer du gränsvärdet för x<0. Det blir nånting som beror av a. Sedan sätter du dem lika och löser ut a.

Laguna skrev:

Schnehest skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Att lim x -> 0 f(x) existerar betyder att gränsvärdet skall ha samma värde när men närmar sig 0 från vänster och från höger. Kommer du vidare?

 Ska jag lösa ut vad som händer i ena ekvationen (t.ex när arctan närmar sig 0), sen sätta det = med det andra? 

Ja, ungefär. Bestäm gränsvärdet för x>0. Det blir nåt tal. Sedan bestämmer du gränsvärdet för x<0. Det blir nånting som beror av a. Sedan sätter du dem lika och löser ut a.

Får ut pi/2 när jag läser ur gränsvärdet för arctan.

Med (e^ax-1)/1 blir det ju noll vid insättningen av x=0

Nej, uttrycket

$\dfrac{e^{ax}-1}{x}$

är odefinierat för $x=0$. Du måste kolla på gränsvärdet när $x$ närmar sig noll.

AlvinB skrev:

Nej, uttrycket

$\dfrac{e^{ax}-1}{x}$

är odefinierat för $x=0$. Du måste kolla på gränsvärdet när $x$ närmar sig noll.

 Menar du standardgränsvärdet?

Talet i sig är ju likt ett standardgränsvärdet $\dfrac{e^{x} -1}{x}$ 

Kan jag på något sätt omvandla mitt tal till detta? 

Ja, det kan du.

Om du förlänger bråket med $a$ får du:

$\lim_{x\to0^-}\dfrac{e^{ax}-1}{x}=\lim_{x\to0^-}\dfrac{e^{ax}-1}{x}\cdot\dfrac{a}{a}=\lim_{x\to0^-}\dfrac{e^{ax}-1}{ax}\cdot a$

Ser du vad värdet på gränsvärdet blir?

AlvinB skrev:

Ja, det kan du.

Om du förlänger bråket med $a$ får du:

$\lim_{x\to0^-}\dfrac{e^{ax}-1}{x}=\lim_{x\to0^-}\dfrac{e^{ax}-1}{x}\cdot\dfrac{a}{a}=\lim_{x\to0^-}\dfrac{e^{ax}-1}{ax}\cdot a$

Ser du vad värdet på gränsvärdet blir?

 Har lärt mig att det blir 1.

Då gäller det alltså att a = pi/2

Stort tack! 

Japp!