Kontinuitet

Ta t.ex. f(x) = x^2 + x. Vi tar något fixt a, och låter x = a + h. Beloppet av f(a+h)-f(a) ska alltså bli hur litet vi vill genom att välja beloppet av h tillräckligt litet.

f(a+h) = (a+h)^2 + a+h = a^2 + 2ah + h^2 + a + h.

f(a+h)-f(a) = 2ah + h^2 + h = h(2a+1+h).

Man ser att detta uttryck kan göras godtyckligt litet genom att välja h tillräckligt litet. För att bevisa det får man göra lite algebra till.

Hej!

Att $M(a)$ beror på funktionen $f$ betyder inte att talet ligger i funktionens definitionsmängd. 

För att visa att polynomfunktioner (som inte är samma sak som polynom!) är kontinuerliga räcker det att visa att monomfunktioner är kontinuerliga, eftersom polynomfunktioner är summor av monomfunktioner och summor av kontinuerliga funktioner är kontinuerliga funktioner. 

Låt $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vara monomfunktionen $f(x) = x^{n}$ där $n$ är ett fixerat positivt heltal och låt $a \in D_f$ vara en godtycklig punkt i funktionens definitionsmängd, $D_f = \mathbb{R}$. Enligt Generella konjugatregeln kan man skriva

   $f(x) - f(a) = x^{n} - x^{a} = (x-a)\cdot (x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \cdots + a^{n-1})$

och enligt Binomialsatsen är $x^{n-1}+ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \cdots + a^{n-1} <>$.

Det följer nu att

    $|f(x)-f(a)| < |x-a|="" \cdot="" |(x+a)^{n-1}|="" \leq="" |x-a|="">$

Välj talet $x$ så att $|x| <>$ vilket ger $|x+a| \leq |x| + |a| <>$ så att för sådana tal $x$ gäller det att

    $|f(x) - f(a)| \leq 2^{n-1}|a|^{n-1} \cdot |x-a|$. 

Istället för $f(x) - f(a) = x^n-x^a$ ska det stå $f(x)-f(a) = x^n - a^{n}$.

Det är svårt att ta till sig denna informationen, tror att det blir för mycket variabler/ "bokstäver" för mig. 

Själva definitionen kan jag ta till mig men jag tror att ett exempel hur man visar att en funktion är kontinuerlig hade suttit fint (numeriskt). :)

I mitt exempel kan du sätta a = 4,13. f(4,13) = 21,1869.  Sedan kan du tänka dig att du vill visa att det finns en punkt nära a så att funktionsvärdet är 0,00001 från 21,1869. Den där faktorn 2a+1+h är 9,26 + h, och h ska vara litet, så faktorn är alltid < 10. Då vet vi att vi kan komma så nära 21,1869 som 0,00001 om vi går så nära x= 4,13 som h = 0,00001/10 = 0,000001. Och vill vi komma så nära som ${10}^{-43}$ så väljer vi h = ${10}^{-44}.$

Varför lägger man till M(a)? Vad är M(a)? 

$M\left(a\right)=\left|f^{\text{'}}\left(a\right)\right|+....+\left|\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\right|$

M(a) är en taylorutveckling..... 

1PLUS2 skrev:

Det är svårt att ta till sig denna informationen, tror att det blir för mycket variabler/ "bokstäver" för mig. 

Själva definitionen kan jag ta till mig men jag tror att ett exempel hur man visar att en funktion är kontinuerlig hade suttit fint (numeriskt). :)

 Du ville veta hur man genomför ett bevis av kontinuitet för polynomfunktion; jag visade hur man utför ett bevis av kontinuitet för en polynomfunktion. Kan du specificera vad det är i mitt inlägg som du inte förstår, så att jag eventuellt kan förtydliga för dig? 

Du befinner dig på universitetsnivå i dina studier och där får man vänja sig vid att matematik innehåller flera bokstäver och variabler.