Kontinuitet

Är denna lösning korrekt?

Jag börjar med det att funktionen är kontinuerlig i 0, d.v.s.

$\left|x-0\right|<\delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(0\right)\right|<\frac{\epsilon }{2}$

$\left|f\left(x\right)-f\left(0\right)\right|=\left|f\left(x\right)-f(x_0-x_0)\right|\le \left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)-f(-x_0)\right|\le \left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|+\left|f(-x_0)\right|<\frac{\epsilon }{2}$

Vi får alltså

$\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|<\frac{\epsilon }{2}-\left|f(-x_0)\right|$

Så om vi väljer $\delta =\frac{\epsilon }{2}+\left|f(-x_0)\right|$ då får vi

$\left|x-x_0\right|<\delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|<\epsilon$

Stämmer detta, eller har jag gjort fel?

Hej!

Eftersom $f(0)=0$ och $f$ är kontinuerlig i 0 så är $f(h)$ nära 0 (epsilon-nära) om $h$ är tillräckligt nära 0 (delta-nära). Låt $x$ vara godtycklig. På grund av sub-additivitet är

    $|f(x+h)-f(x)|\leq |f(h)|,$

vilket medför kontinuitet i $x.$

Albiki

Korvgubben skrev :

Är denna lösning korrekt?

Jag börjar med det att funktionen är kontinuerlig i 0, d.v.s.

$\left|x-0\right|<\delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(0\right)\right|<\frac{\epsilon }{2}$

$\left|f\left(x\right)-f\left(0\right)\right|=\left|f\left(x\right)-f(x_0-x_0)\right|\le \left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)-f(-x_0)\right|\le \left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|+\left|f(-x_0)\right|<\frac{\epsilon }{2}$

Vi får alltså

$\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|<\frac{\epsilon }{2}-\left|f(-x_0)\right|$

Så om vi väljer $\delta =\frac{\epsilon }{2}+\left|f(-x_0)\right|$ då får vi

$\left|x-x_0\right|<\delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|<\epsilon$

Stämmer detta, eller har jag gjort fel?

Nej denna lösning känns inte korrekt skulle jag tro, du använder att

$|f(x) - f(x_0 - x_0)| \le |f(x) - f(x_0) - f(x-0)|$

och jag tror du tänker att det skulle följa av att det generellt för en subadditiv funktion skulle gälla att

$|f(x + y) - a| \le |f(x) + f(y) - a|$

Detta är däremot inte korrekt. Exempelvis så gäller det att

$\sqrt{9} \le \sqrt{4} + \sqrt{5}$

Men det gäller inte att

$|\sqrt{9} - 4| \le |\sqrt{4} + \sqrt{5} - 4|$

Här är VL = 1 och HL är ungefär 0.23.

Sedan gör du också misstaget att tänka att bara för att

$|f(x) - f(0)| < \epsilon/2$

och

$|f(x) - f(0)| < |f(x) - f(x_0)| + |f(-x_0)|$

så är

$|f(x) - f(x_0)| + |f(-x_0)| < \epsilon/2$

Detta är inte sant och jag lämnar det som övning att visa att det inte är sant.

Suck... Hur skall jag då göra?

Du har att det gäller att

$f(x + h) \le f(x) + f(h)$

Samt att

$f(x) \le f(x + h) + f(-h)$

Vilket alltså innebär att

$f(x) - f(-h) \le f(x + h) \le f(x) + f(h)$

Vad händer då $h \rightarrow 0$?

Använder du dig nu alltså av instängninssatsen? Då h går mot noll så blir väl gränsvärdet f(x)?

Ja, jag använder instängningssatsen. Japp gränsvärdet blir f(x).

Okej. Tack :D!