Kontinuitet
Jag prövade en egen metod inför denna uppgift där jag såg arctan(1/x^2) som en vinkel eftersom det är den vinkeln tan måste anta för att få värdet 1/x^2. Sedan målade jag upp en figur för vinkeln och tänkte att om k = sin^2(x) går ekvationen mot 1 enligt figuren. Enligt facit är k = 2/pi vilket jag inte förstår.
Skulle någon kunna förklara, tack på förhand!
Vilken värde har din vinkel v för x=1? Vilket värde har den för x=0.1? x=0.01? Vilket värde har v då x->0?
V = arctan(1/x^2) men eftersom den inte är definerad för x = 0 pga noll i nämnaren gjorde jag den till en vinkel och fortsatte som jag gjorde
Den vinkeln du ritade upp i figuren ser ut att gå mot pi/2 när x närmar sig 0.
Och om k = 2/pi alltså inversen av det blir funktionen 1 när x närmar sig 0, jag förstår! Men varför blev det fel med min lösning med sin^2(v)
Precis som du kommer fram till kommer sin^2(v) gå mot 1 då x->0. Men det har ingenting med k att göra?
Jag tänkte att: Sin^2(v) = k
Insatt i ekvationen blir det då: Sin^2(arctan(1/x^2)) som går mot 1 då x går mot noll = f(x) och därmed har vi hittat ett värde för konstanten k så att funktionen är kontinuerlig.
Hur får du den likheten?
I den figuren du har är sin(v)=1/(sqrt(1+x^2))
Oj nu får jag inte ihop det själv...
Så vid sådan hära uppgifter bör jag skissa upp figuren och se vad vinkeln går mot när x går mot noll och utifrån det bestämma kontanten k?
Ja, eller det är väl mest ett sätt att få en intuition av vad gränsvärdet blir.
Strikt sätt bör man sätta upp en mer formell härledning, kanske mha av standard gränsvärden eller liknande.
