Kontinuitetsbevis

Jag tror att jag har kommit fram till ett svar. Jag vill ju få fram en olikhet där

$\frac{\left|x-x_0\right|}{x{x}_0}<\frac{\left|x-x_0\right|}{a{x}_0} \iff a<x, a\in D_f$

Om jag nu väljer att $a=x_0$, då får jag att $x>x_0$, men det här stämmer ju inte, eftersom $\left|x-x_0\right|<\delta , \delta >0$. 

Jag sätter istället att $\delta =\frac{x_0}{2}$. Då gäller att $\frac{x_0}{2}<x<\frac{3}{2}{x}_0, x_0>0$. Då ser jag att jag måste välja att $a=\frac{x_0}{2}$, alltså får jag olikheten

$\frac{\left|x-x_0\right|}{x{x}_0}<\frac{{\displaystyle 2}\left|x-x_0\right|}{x_0^2}$

Jag har nu hittat mitt delta. Men nu har jag två olika delta! Jag skriver alltså att jag måste välja $\delta =min\left\{\frac{x_0}{2}, \frac{x_0^2\epsilon }{2}\right\}$. 

Är detta rätt tänkt?

Nej jag  tror inte du tänker rätt. Strategin du börjar med känns bra, men det känns som du tappar spåret. Säg att vi begränsar domänen till $x > a > 0$. Då har du att

$\frac{\left|x-x_0\right|}{x{x}_0}<\frac{\left|x-x_0\right|}{a^2}$

Så om du låter $\delta = a^2\epsilon$ så får du att

$\left|x-x_0\right|<a^2\epsilon \Rightarrow \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right|<\epsilon$

Så man har alltså att på alla mängder $(a, \infty)$ så är 1/x kontinuerlig, detta innebär att den är kontinuerlig på hela $(0, \infty)$.

Problemet med ditt sätt är att du säger att $a = x_0$, detta innebär ju att du bara visar att den är kontinuerlig från höger.

Hej!

Du vill visa att det går att få avståndet $|f(x+h)-f(x)|$ hur litet som helst om man bara ser till att välja talet $h$ tillräckligt nära noll; då har du visat kontinuitet i den godtyckligt valda punkten $x>0$ och därmed har du visat kontinuitet för hela funktionen.

Om $h>0$ så är $|\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}| = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+h} \leq \frac{2}{x+h}$ och denna positiva övre begränsning går att få så liten som helst om man bara ser till att välja $h$ tillräckligt stor; valet av $h$ kommer att bero på $x$.

Hur blir i fallet då $-x<h<0$?

Albiki