23 svar
71 visningar
Bjurisen97 är nöjd med hjälpen
Bjurisen97 67
Postad: 7 apr 19:31

Kontroll av lösning

Hej! Jag har en uppgift som lyder

Ett företag tillverkar tallrikar. Vid tillverkning och försäljning av x st tallrikar gäller:

* Kostnaden K(x) kr, ges av K(x) = 0,02x2 + 16x + 2000

* Priset p(x) kr per tallrik, ges av p(x) = 40 - 0,01x

* 0  <= x  <= 4000.

Hur många tallrikar skall tillverkas för att ge maximal vinst, och hur stor
blir vinsten?

Jag har räknat ut den på detta vis:

40x-0,01x2-0,02x2-16x-2000= -0,03x2+24x=2000

-0,06x+24=0 (  Vinsten: priset-kostnaden).

x=400. Max antal tallrikar som ska tillverkas är alltså 400.

Jag sätter sedan in 400 i:

-0,03(400)2+24(400)-2000= 2800-

Vinsten blir alltså 2800. Man ska tillverka 400 tallrikar och vinsten blir 2800.

Jag undrar om jag har tänkt rätt? Tacksam för hjälp och tips. 

Det ser rätt ut.

Bjurisen97 67
Postad: 7 apr 19:49

Tack Yngve!

Du bör även visa att detta värde på x ger maximal vinst och inte minimal vinst.

Bjurisen97 67
Postad: 7 apr 23:07

Hur går jag tillväga då?

Det finns några olika sätt:

  1. Eftersom du har ett andragradsuttryck med en negativ koefficient framför x2x^2-termen så ser motsvarande graf (parabeln) ut som en "ledsen mun" och den har därför en maxpunkt. Läs mer om det i avsnittet "Andragradsfunktioners extrempunkter".
  2. Du kan kontrollera derivatans tecken runt dess nollställe för att visa att du har en maxpunkt.
  3. Du kan ta fram andraderivatan och konstatera att dess värde är negativt vid extrempunkten, vilket betyder att funktionen där har en maxpunkt.

Säg till om du även är ute efter tips på hur du kan skriva en tydlig och välmotiverad lösning som kan ge högre poäng på ett prov.

Bjurisen97 67
Postad: 8 apr 10:01

okej tack yngve! sambandet * 0  <= x  <= 4000 finns med i uppgiften. Undrar om jag ska tillämpa det någonstans?

 

Sen undrar jag om det är uttrycket -0,03x2+24x=2000 jag ska ta fram andraderivatan av. Och vilka extrempunkter ska jag sätta in där? 400 eller 2800?

Du ska ta hänsyn till intervallet genom att det bara är dessa värden på x som kan vara relevanta för att ge max vinst.

Du kan utnyttja det genom att kontrollera vinstfunktionens värde dels i den stationära punkten (dvs för x = 400), dels i intervallets båda ändpunkter (dvs x = 0 och x = 2000).

Dessa tre värden är de enda möjliga kandidaterna till maxvärdet.

Det blev alltså en fjärde metod att sökerställa att du hittat maxvärdet.

Vad gäller andraderivatan, har du läst avsnittet jag länkade till?

Bjurisen97 67
Postad: 8 apr 11:09

Okej jag förstår. Ja genom att ta fram andraderivatan kan man ju få maximumpunkter. Jag undrar vilken funktion det är jag ska ta andraderivatan av, är det denna?

-0,03x2+24x

Eller vilken funktion är det jag ska göra det av? Är förvirrad nu... sorry. 

Yngve Online 21267 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 8 apr 11:23 Redigerad: 8 apr 11:28

Vi tar det från början så får du även lite tips på hur du kan förbättra beskrivningen av din lösning:

Kostnaden för att tillverka xx tallrikar är K(x)K(x).

Försäljningspriset per tallrik är p(x)p(x). Om företaget säljer xx tallrikar så blir alltså de totala inkomsterna x·p(x)x\cdot p(x) kronor.

Vinsten vid tillverkning och försäljning av xx tallrikar är inkomster - utgifter, dvs V(x)=x·p(x)-K(x)V(x) = x\cdot p(x)-K(x).

Eftersom  K(x)=0,02x2+16x+2000K(x)=0,02x^2+16x+2000

och p(x)=40-0,01xp(x)=40-0,01x

så får vi att vinsten VV beror på antalet tillverkade och sålda tallrikar xx enligt

V(x)=x·(40-0,01x)-(0,02x2+16x+2000)=V(x)=x\cdot (40-0,01x)-(0,02x^2+16x+2000)=

=40x-0,01x2-0,02x2-16x-2000==40x-0,01x^2-0,02x^2-16x-2000=

=-0,03x2+24x-2000=-0,03x^2+24x-2000.

Det är denna funktion, dvs V(x)V(x), som du ska ta fram andraderivatan av.

Bjurisen97 67
Postad: 8 apr 13:18

Ja exakt. Tack.

andra derivatan av v´´(x) blir -0,006+24.

Vad är nu nästa steg?

Bjurisen97 67
Postad: 8 apr 13:24

Och det är när jag sätter andraderivatan= 0 som jag får svaret 400. Alltså 24/0,06.

Menar du att jag ska sätta in x=400 x=0 och x= 2000 i f´´(x)= -0,06x+24?

Yngve Online 21267 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 8 apr 14:11 Redigerad: 8 apr 14:31
Bjurisen97 skrev:

andra derivatan av v´´(x) blir -0,006+24.

EDIT - korrigerade skrivfel

Nej andraderivatan blir bara V''(x) = -0,06.

Förstaderivatan är ju V'(x) = -0,06x + 24 och när du deriverar det så försvinner konstanttermen 24.

Bjurisen97 skrev:

Och det är när jag sätter andraderivatan= 0 som jag får svaret 400. Alltså 24/0,06.

Nej du ska inte sätta andraderivatan lika med 0, du ska ta reda på vad andraderivatan har för tecken vid det/de x-värden där förstaderivatan är lika med 0.

Menar du att jag ska sätta in x=400 x=0 och x= 2000 i f´´(x)= -0,06x+24?

Nej, bara det/de värden på x för vilka f'(x) = 0.

Och din V''(x) är inte rätt, se ovan.

Bjurisen97 67
Postad: 8 apr 14:16

Ja såklart! Men hur går jag vidare nu, efter att jag vet 0,006 som andra derivata?

Yngve Online 21267 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 8 apr 14:22 Redigerad: 8 apr 14:30

EDIT - korrigerade skrivfel

Nej den är -0,06.

Har du verkligen läst avsnittet jag länkade till?

Där står klart och tydligt hur man kan använda andraderivatans tecken för att avgöra den stationära punktens karaktär.

Var det något där du vill få ytterligare förklarat?

Bjurisen97 67
Postad: 8 apr 14:24

Okej såg ditt andra svar nu. Känner mig så trög, men första derivatan är ju -0,006x + 24. Hur tar jag reda på vad andraderivatan har för tecken vid de x värden där förstaderivatan = 0? Förtår inte. 

När förstaderivatan = 0 är ju x 4000?

Yngve Online 21267 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 8 apr 14:28 Redigerad: 8 apr 14:32

EDIT - jag skrev en nolla för mycket i decimakerna tidigare.

Börja med att ta fram rätt uttryck för andraderivatan.

Funktionen är V(x)=-0,03x2+24x-2000V(x)=-0,03x^2+24x-2000

Förstaderivatan är V'(x)=-0,06x+24V'(x)=-0,06x+24

Vad är då andraderivatan V''(x)V''(x)?

Bjurisen97 67
Postad: 8 apr 14:47 Redigerad: 8 apr 15:13

Andraderivatan är -0,06.

Andraderivatan är en funktion. Denna funktion ser ut så här: V''(x) = -0,06.

Det betyder att funktionen är konstant, den har ett konstant värde (som är lika med -0,06), oavsett vilket x-värdet är.

Jag är nyfiken på hur du resonerar och räknar när du "stoppar in" ett x-värde i funktionen V''(x) = -0,06 och då får ut ett annat värde än -0,06?

Bjurisen97 67
Postad: 8 apr 15:05

Ja det har du rätt i. Jag tänker fel just nu bara. 

Eftersom andraderivatan är - 0,06, är det alltså svaret att funktionen har en maximipunkt? Förlåt om jag är rörig min hjärna är så seg just nu! Tänkte fel med att sätta in x värde i funktionen då vi endast har en konstant -0,06. 

Ja det stämmer.

Bjurisen97 67
Postad: 8 apr 16:44

Okej tack så mycket för hjälpen.

Svara Avbryt
Close