3 svar
39 visningar
K.Ivanovitj 399
Postad: 6 feb 2018 17:09

konvergens

Hej

jag behöver lite hjälp med att förstå hur man ska lösa denna uppgift:

Ange för vilket värde på a som den generaliserade integralen e1xlnxadx är konvergent och bestäm värdet vid konvergensen.

Jag började med att sätta limR0R1xlnxadx och utförde sedan variabelbytet t=lnxdt=1xdx

integralen ska då bli limR1lnR1tadt

och vi får d 3 fall, då a>1, a=1, a<1

för a>1 får vi limR1lnRt-adt=limRt-a+1-a+1lnR1

När man sedan räknar ihop ska vi då få limR1a-11-1lnRa-1=1a-1

Jag förstår inte riktigt hur dom gör det sista steget.

Albiki 5096
Postad: 6 feb 2018 17:51 Redigerad: 6 feb 2018 17:54

Hej!

Den undre integrationsgränsen ska vara e e och inte noll.

Sedan är integralen

    1lnnt-adt=11-a·((lnn)1-a-1) \int_{1}^{\ln n} t^{-a}\,\text{d}t = \frac{1}{1-a}\cdot ((\ln n)^{1-a}-1) när a1 ; a \neq 1\ ;

när a=1 a = 1 blir integralen lika med lnlnn. \ln \ln n.

Du ser att den generaliserade integralen är konvergent (lika med 1/(a-1) 1/(a-1) ) precis då 1-a 1-a är strikt mindre än noll.

Albiki

K.Ivanovitj 399
Postad: 6 feb 2018 18:42

jag förstår ändå inte tyvärr, var får vi 11-a ifrån? och varför blir det inte lnn-a-1-aefter att vi integrerat

Albiki 5096
Postad: 6 feb 2018 18:47

t-adt=t-a+1-a+1 \int t^{-a}\,dt = \frac{t^{-a+1}}{-a+1}

Svara Avbryt
Close