Konvergens av Fourierserier
Jag förstår inte riktigt konvergens av Fourierserier. Av det som jag har förstått så finns det två typer av konvergens: punktvis och likformig konvergens. Vad är skillnaden mellan dem och vilken används när? Jag undrar också över Dirichlets sats, vad säger den och hur hänger den ihop med konvergens av Fourierserier?
Din första fråga: P
Din första fråga: Du har en funktionsserie med termerna fn(x) på ett definitionsområde D. Punktvis konvergens betyder att "serien konvergerar för varje x för sig": Beteckna summan av de n första termerna med Sn(x). Då går för varje x i D, Sn(x) mot ett tal S(x). Det betyder att för varje epsilon finns ett N sådant att n>N medför att Abs(Sn(x)-S(x))<epsilon. Olika x kräver olika värden på N för att hamna innanför epsilonomgivningen.
Konvergensen är likformig på D om det finns ett N-värde som duger överallt i D, alltså oberoende av vilken punkt x du väljer (men fortfarande beroende av epsilon förstås).
Andra frågan: "vilken används när?" Jag antar du tänker på sammanhanget serier. Då är det så att om du vill derivera eller integrera termvis i en serie så behöver konvergensen vara Likformig (såvida du inte har ytterligare info som garanterar förfarandet.)
Okej, kan du ge ett exempel som handlar om likformig konvergens eller hur kontrollerar man att serien har likformig konvergens? För jag antar att man måste kolla upp att konvergensen i en serie är likformig innan man deriverar eller integrerar
Ett exempel som återkommande gästar oss här på akuten är den geometriska serien med termerna fn(z) = zn . Den konvergerar likformigt och absolut innanför varje cirkelskiva med radien r<1.
Att konvergensen är likformig visas m h a Weierstrass majorantsats (som du får slå upp). Eftersom vi här då får derivera termvis kan vi t ex bestämma summan av serien med termerna n•0,5n (som ju inte är geometrisk).
