9 svar
237 visningar
Wilar 191
Postad: 16 jan 2019 12:49

Konvergent eller divergent?

"Avgör om serien n=1ann konvergerar där  an=0 om decimalutvecklingen av n innehåller siffran 9 och an=1 annars."

Förstår verkligen inte hur jag ska gå tillväga här. Vad innebär ens "decimalutvecklingen av n"? Är inte n ett heltal?

Laguna 15249
Postad: 16 jan 2019 12:54

Man får använda sin fantasi lite. Ett heltal n kan skrivas (och skrivs normalt) i tiosystemet, t.ex. 34591. Jag vet inte om jag skulle säga "decimalutveckling" men det är det som menas. Decimal brukar betyda det som står efter kommat, vilket är vad du tänker på, men det syftar också allmänt på tiosystemet.

SeriousCephalopod 2190
Postad: 16 jan 2019 12:57 Redigerad: 16 jan 2019 12:59

Decimalutvecklingen betyder sifferrepresentationen i bas 10.

Så när n = 13 så innehåller inte decimalrepresentationen någon 9:a och a13=1a_{13} = 1

Men när n = 19 då finns en 9:a och  a19=0a_{19} = 0 (edit: skrev 1 här men såklart 0)

De flesta av ana_n-elementen är alltså 1 förutom när n är något av 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 109, 119,... osv då elementet är 0.

Albiki 5320
Postad: 16 jan 2019 17:08

Serien är samma sak som den harmoniska serien minus alla termer där nämnaren innehåller siffran 9. Seriens partialsummor  (sns_n) är alltså mindre än partialsummorna (hnh_n) hos den divergenta harmoniska serien och det är intressant att undersöka om de är tillräckligt mycket mindre för att den giva serien ska vara konvergent.

AlvinB 3987
Postad: 16 jan 2019 20:17 Redigerad: 16 jan 2019 20:19

På liknande sätt som man kan avgöra den harmoniska seriens konvergens genom att jämföra med en förenklad variant av serien kan vi även bestämma konvergensen hos denna serie.

Serien kan skrivas:

n=1ann=1+12+13+....+18+110+...188+1100+...\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+...\frac{1}{88}+\frac{1}{100}+...

Vi försöker hitta en förenklad serie att jämföra med genom att använda oss av enbart tiopotenser. Vi ser att alla termer mellan 11 och 18\frac{1}{8} är mindre än eller lika med ett, alla termer mellan 110\frac{1}{10} och 188\frac{1}{88} är mindre än eller lika med en tiondel o.s.v.

Vi får alltså olikheten:

  1+12+13+...+18+110+111+...+188+1100+1101+1102...\displaystyle\ \ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+...+\frac{1}{88}+\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}...

<1+1+1+...+1+110+110+...+110+1100+1100+1100+...\displaystyle<>

Skulle vi nu kunna visa att den nedre serien är konvergent medför det att även den övre är det. Har du ett hum om hur man gör det?

Wilar 191
Postad: 16 jan 2019 20:29
SeriousCephalopod skrev:

Decimalutvecklingen betyder sifferrepresentationen i bas 10.

Så när n = 13 så innehåller inte decimalrepresentationen någon 9:a och a13=1a_{13} = 1

Men när n = 19 då finns en 9:a och  a19=0a_{19} = 0 (edit: skrev 1 här men såklart 0)

De flesta av ana_n-elementen är alltså 1 förutom när n är något av 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 109, 119,... osv då elementet är 0.

Men an är väl 0 även då n[90,99], n[190,199] osv?

Wilar 191
Postad: 16 jan 2019 20:40 Redigerad: 16 jan 2019 20:48
AlvinB skrev:

På liknande sätt som man kan avgöra den harmoniska seriens konvergens genom att jämföra med en förenklad variant av serien kan vi även bestämma konvergensen hos denna serie.

Serien kan skrivas:

n=1ann=1+12+13+....+18+110+...188+1100+...\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+...\frac{1}{88}+\frac{1}{100}+...

Vi försöker hitta en förenklad serie att jämföra med genom att använda oss av enbart tiopotenser. Vi ser att alla termer mellan 11 och 18\frac{1}{8} är mindre än eller lika med ett, alla termer mellan 110\frac{1}{10} och 188\frac{1}{88} är mindre än eller lika med en tiondel o.s.v.

Vi får alltså olikheten:

  1+12+13+...+18+110+111+...+188+1100+1101+1102...\displaystyle\ \ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+...+\frac{1}{88}+\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}...

<>\displaystyle<>

Skulle vi nu kunna visa att den nedre serien är konvergent medför det att även den övre är det. Har du ett hum om hur man gör det?

 Ja, vi kommer ju få flertalet summor av typen k=N110k, vilket är en konvergent serie. Eftersom summan av flera konvergenta serier är konvergent blir även den sökta summan konvergent. Right?

Det blir väl typ 8k=0110k+ 72k=1110k+...

AlvinB 3987
Postad: 16 jan 2019 20:48
Matte357 skrev:
AlvinB skrev:

På liknande sätt som man kan avgöra den harmoniska seriens konvergens genom att jämföra med en förenklad variant av serien kan vi även bestämma konvergensen hos denna serie.

Serien kan skrivas:

n=1ann=1+12+13+....+18+110+...188+1100+...\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+...\frac{1}{88}+\frac{1}{100}+...

Vi försöker hitta en förenklad serie att jämföra med genom att använda oss av enbart tiopotenser. Vi ser att alla termer mellan 11 och 18\frac{1}{8} är mindre än eller lika med ett, alla termer mellan 110\frac{1}{10} och 188\frac{1}{88} är mindre än eller lika med en tiondel o.s.v.

Vi får alltså olikheten:

  1+12+13+...+18+110+111+...+188+1100+1101+1102...\displaystyle\ \ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+...+\frac{1}{88}+\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}...

<\displaystyle

Skulle vi nu kunna visa att den nedre serien är konvergent medför det att även den övre är det. Har du ett hum om hur man gör det?

 Ja, vi kommer ju få flertalet summor av typen k=N110k, vilket är en konvergent serie. Eftersom summan av flera konvergenta serier är konvergent blir även den sökta summan konvergent. Right?

 Du tänker någorlunda rätt; om vi kan visa att den nedre summan konvergerar följer det direkt att även den övre summan (d.v.s. summan vi söker) konvergerar.

Däremot är det lite klurigare att bestämma den nedre summan än vad du tänker. Det är ju så att vi har 88 stycken 10010^0-termer, 7272 stycken 10-110^{-1}-termer, 648648 stycken 10-210^{-2}-termer o.s.v. Det gäller att hitta ett sätt att skriva ihop dessa till en serie med sigmanotation och sedan beräkna den.

Wilar 191
Postad: 16 jan 2019 21:03
AlvinB skrev:
Matte357 skrev:
AlvinB skrev:

På liknande sätt som man kan avgöra den harmoniska seriens konvergens genom att jämföra med en förenklad variant av serien kan vi även bestämma konvergensen hos denna serie.

Serien kan skrivas:

n=1ann=1+12+13+....+18+110+...188+1100+...\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+...\frac{1}{88}+\frac{1}{100}+...

Vi försöker hitta en förenklad serie att jämföra med genom att använda oss av enbart tiopotenser. Vi ser att alla termer mellan 11 och 18\frac{1}{8} är mindre än eller lika med ett, alla termer mellan 110\frac{1}{10} och 188\frac{1}{88} är mindre än eller lika med en tiondel o.s.v.

Vi får alltså olikheten:

  1+12+13+...+18+110+111+...+188+1100+1101+1102...\displaystyle\ \ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+...+\frac{1}{88}+\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}...

<\displaystyle

Skulle vi nu kunna visa att den nedre serien är konvergent medför det att även den övre är det. Har du ett hum om hur man gör det?

 Ja, vi kommer ju få flertalet summor av typen k=N110k, vilket är en konvergent serie. Eftersom summan av flera konvergenta serier är konvergent blir även den sökta summan konvergent. Right?

 Du tänker någorlunda rätt; om vi kan visa att den nedre summan konvergerar följer det direkt att även den övre summan (d.v.s. summan vi söker) konvergerar.

Däremot är det lite klurigare att bestämma den nedre summan än vad du tänker. Det är ju så att vi har 88 stycken 10010^0-termer, 7272 stycken 10-110^{-1}-termer, 648648 stycken 10-210^{-2}-termer o.s.v. Det gäller att hitta ett sätt att skriva ihop dessa till en serie med sigmanotation och sedan beräkna den.

 k=0n8·9k10k=8·(1-0.9n)1-0.980, n . Alltså konvergent?

AlvinB 3987
Postad: 16 jan 2019 21:10

Just det, bra jobbat!

Eftersom det finns 8·9k8\cdot9^k stycken 10-k10^{-k}-termer kan man beskriva problemet med en geometrisk summa precis som du gjort. Eftersom summan konvergerar då nn\to\infty konstaterar vi att den ursprungliga summan också konvergerar.

Svara Avbryt
Close