Konvergent eller divergent serie, hur ska jag tänka?

Hej,

Jag behöver hjälp med att förstå hur jag ska testa och se ifall en serie är konvergent eller divergent (även bestämma intervallen). Det finns ju olika sätt att göra det på men jag vet inte riktigt vilket test jag ska välja när jag börjar. Kan ge några exempel där testerna skiljer sig åt (utan att visa lösningarna)

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{e^{2n}}\to Kvotkriteriet ger: \frac{\left|{\displaystyle \raisebox{1ex}{$x^{n+1}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$e^{2(n+1)}$}\right.}\right|}{\left|\frac{x^n}{e^{2n}}\right|}=...$ Här har man använt kvotkriteriet 
$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\to Kvottest: a_n=\left|\frac{{\displaystyle x^n}}{{\displaystyle n!}}\right|=...$ Samma sak här, kvottest/kvotkriteriet. 

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}\to Leibniz konvergenskriterie \to \sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n...$ Här har man Leibniz konvergenskriterie

Alltså måste jag veta vilket "test" jag ska använda. Varför inte kvotkriteriet på den sista uppgiften t.ex.? Är det svårare eller uppfyller serien inte något krav?Någon som har lust att förklara? 

Tack!